パーミュテーション（並べ替え）たちグループ（群）、その要素、パーミュテーション（並べ替え）たちドメイン（定義域）の要素、要素のパワー（累乗）オペレーションたちをドメイン（定義域）要素に作用させたシーケンス（列）に対して、第1シーケンス（列）内に含まれていない別のドメイン（定義域）要素での別のシーケンス（列）は第1シーケンス（列）からディスジョイント（互いに素）であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のパーミュテーション（並べ替え）たちグループ（群）、その任意の要素、当該パーミュテーション（並べ替え）たちドメイン（定義域）の任意の要素、当該要素のパワー（累乗）オペレーションたちを当該ドメイン（定義域）要素に作用させたシーケンス（列）に対して、第1シーケンス（列）内に含まれていない任意の別のドメイン（定義域）要素での別のシーケンス（列）は第1シーケンス（列）からディスジョイント（互いに素）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S\): \(\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）セット（集合）たち }\}\)、で任意のリニアオーダー（線形順序）を持つもの
\(G\): \(= S \text{ のパーミュテーション（並べ替え）たちグループ（群） }\)
\(\sigma\): \(\in G\)
\(p\): \(\in S\)
\((\sigma (p), \sigma^2 (p), ...)\):
\(p'\): \(\in S \setminus \{\sigma (p), \sigma^2 (p), ...\}\)
\((\sigma (p'), \sigma^2 (p'), ...)\):
//
ステートメント（言明）たち:
\(\{\sigma (p), \sigma^2 (p), ...\} \cap \{\sigma (p'), \sigma^2 (p'), ...\} = \emptyset\)
//
2: 注
そういう\(p'\)は1つもないかもしれない; そのケースでは、本命題は、空虚に真である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \((\sigma (p'), \sigma^2 (p'), ...)\)は不可避に\(\sigma^n (p')\)として\(p'\)へ来ることを見る; ステップ2: \(\sigma^k (p) = \sigma^l (p')\)と仮定し、矛盾を見つける。
ステップ1:
\((\sigma (p'), \sigma^2 (p'), ...)\)は不可避に\(\sigma^n (p')\)として\(p'\)へ来る、任意のパーミュテーション（並べ替え）たちグループ（群）、その任意の要素、当該パーミュテーション（並べ替え）たちドメイン（定義域）の任意の要素に対して、当該要素のパワー（累乗）オペレーションたちを当該ドメイン（定義域）要素に作用させたシーケンス（列）は当該ドメイン（定義域）要素から前へ戻るという命題によって。
ステップ2:
以下を満たすある\(k \in \mathbb{N}\)、つまり、\(1 \le k\)、および以下を満たすある\(l \in \mathbb{N}\)、つまり、\(1 \le l\)、で、\(\sigma^k (p) = \sigma^l (p')\)を満たすものがあったと仮定しよう。\(l \le n\)だと仮定できる、なぜなら、当該シーケンス（列）は、オーダー\(n\)のシクリック（循環的）である。
\(\sigma^{k + n - l} (p) = \sigma^{n - l} (\sigma^k (p)) = \sigma^{n - l} (\sigma^l (p')) = \sigma^n (p') = p'\)、\(p'\)は第1シーケンス（列）内にいないことに反する矛盾。
したがって、当該インターセクション（共通集合）は空である。
