863: パーミュテーション（並べ替え）たちグループ（群）、その要素、パーミュテーション（並べ替え）たちドメイン（定義域）の要素、要素のパワー（累乗）オペレーションたちをドメイン（定義域）要素に作用させたシーケンス（列）に対して、第1シーケンス（列）内に含まれていない別のドメイン（定義域）要素での別のシーケンス（列）は第1シーケンス（列）からディスジョイント（互いに素）である

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パーミュテーション（並べ替え）たちグループ（群）、その要素、パーミュテーション（並べ替え）たちドメイン（定義域）の要素、要素のパワー（累乗）オペレーションたちをドメイン（定義域）要素に作用させたシーケンス（列）に対して、第1シーケンス（列）内に含まれていない別のドメイン（定義域）要素での別のシーケンス（列）は第1シーケンス（列）からディスジョイント（互いに素）であることの記述/証明

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話題

About: グループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
• 読者は、任意のパーミュテーション（並べ替え）たちグループ（群）、その任意の要素、当該パーミュテーション（並べ替え）たちドメイン（定義域）の任意の要素に対して、当該要素のパワー（累乗）オペレーションたちを当該ドメイン（定義域）要素に作用させたシーケンス（列）は当該ドメイン（定義域）要素から前へ戻るという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のパーミュテーション（並べ替え）たちグループ（群）、その任意の要素、当該パーミュテーション（並べ替え）たちドメイン（定義域）の任意の要素、当該要素のパワー（累乗）オペレーションたちを当該ドメイン（定義域）要素に作用させたシーケンス（列）に対して、第1シーケンス（列）内に含まれていない任意の別のドメイン（定義域）要素での別のシーケンス（列）は第1シーケンス（列）からディスジョイント（互いに素）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$S$: $\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）セット（集合）たち }\}$、で任意のリニアオーダー（線形順序）を持つもの
$G$: $=S\text{ のパーミュテーション（並べ替え）たちグループ（群） }$
$\sigma$: $\in G$
$p$: $\in S$
$(\sigma (p),{\sigma }^2(p),...)$:
$p^{\prime }$: $\in S\setminus \{\sigma (p),{\sigma }^2(p),...\}$
$(\sigma (p^{\prime }),{\sigma }^2(p^{\prime }),...)$:
//

ステートメント（言明）たち:
$\{\sigma (p),{\sigma }^2(p),...\}\cap \{\sigma (p^{\prime }),{\sigma }^2(p^{\prime }),...\}=\mathrm{\varnothing }$
//

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2: 注

そういう$p^{\prime }$は1つもないかもしれない; そのケースでは、本命題は、空虚に真である。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $(\sigma (p^{\prime }),{\sigma }^2(p^{\prime }),...)$は不可避に${\sigma }^n(p^{\prime })$として$p^{\prime }$へ来ることを見る; ステップ2: ${\sigma }^k(p)={\sigma }^l(p^{\prime })$と仮定し、矛盾を見つける。

ステップ1:

$(\sigma (p^{\prime }),{\sigma }^2(p^{\prime }),...)$は不可避に${\sigma }^n(p^{\prime })$として$p^{\prime }$へ来る、任意のパーミュテーション（並べ替え）たちグループ（群）、その任意の要素、当該パーミュテーション（並べ替え）たちドメイン（定義域）の任意の要素に対して、当該要素のパワー（累乗）オペレーションたちを当該ドメイン（定義域）要素に作用させたシーケンス（列）は当該ドメイン（定義域）要素から前へ戻るという命題によって。

ステップ2:

以下を満たすある$k\in \mathbb{N}$、つまり、$1\le k$、および以下を満たすある$l\in \mathbb{N}$、つまり、$1\le l$、で、${\sigma }^k(p)={\sigma }^l(p^{\prime })$を満たすものがあったと仮定しよう。$l\le n$だと仮定できる、なぜなら、当該シーケンス（列）は、オーダー$n$のシクリック（循環的）である。

${\sigma }^{k+n-l}(p)={\sigma }^{n-l}({\sigma }^k(p))={\sigma }^{n-l}({\sigma }^l(p^{\prime }))={\sigma }^n(p^{\prime })=p^{\prime }$、$p^{\prime }$は第1シーケンス（列）内にいないことに反する矛盾。

したがって、当該インターセクション（共通集合）は空である。

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参考資料

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