862: パーミュテーション（並べ替え）たちグループ（群）、その要素、パーミュテーション（並べ替え）たちドメイン（定義域）の要素に対して、要素のパワー（累乗）オペレーションたちをドメイン（定義域）要素に作用させたシーケンス（列）はドメイン（定義域）要素から前へ戻る

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パーミュテーション（並べ替え）たちグループ（群）、その要素、パーミュテーション（並べ替え）たちドメイン（定義域）の要素に対して、要素のパワー（累乗）オペレーションたちをドメイン（定義域）要素に作用させたシーケンス（列）はドメイン（定義域）要素から前へ戻ることの記述/証明

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話題

About: グループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、グループ（群）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のパーミュテーション（並べ替え）たちグループ（群）、その任意の要素、当該パーミュテーション（並べ替え）たちドメイン（定義域）の任意の要素に対して、当該要素のパワー（累乗）オペレーションたちを当該ドメイン（定義域）要素に作用させたシーケンス（列）は当該ドメイン（定義域）要素から前へ戻るという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$S$: $\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）セット（集合）たち }\}$、で任意のリニアオーダー（線形順序）を持つもの
$G$: $=S\text{ のパーミュテーション（並べ替え）たちグループ（群） }$
$\sigma$: $\in G$
$p$: $\in S$
$(\sigma (p),{\sigma }^2(p),...)$:
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N}\text{ で以下を満たすもの、つまり、 }1\le n(\{\sigma (p),...,{\sigma }^n(p)\}\text{ は互いに異なる }\wedge {\sigma }^{n+1}(p)\in \{\sigma (p),...,{\sigma }^n(p)\})$
$\wedge$
${\sigma }^n(p)=p$
//

勿論、$p$を当該シーケンス（列）の先頭に挿入して$(p,\sigma (p),...,{\sigma }^{n-1}(p),{\sigma }^n(p)=p,...)$とすることができる。

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2: 注

本命題は、任意のグループ（群）に対して、任意の要素の累乗たちシーケンス（列）で前に戻るものは当該要素に戻るという命題に類似しているが、それが即座に含意しているものではない、なぜなら、${\sigma }^{n+1}(p)={\sigma }^k(p)$は必ずしも${\sigma }^{n+1}={\sigma }^k$を意味しない、なぜなら、以下を満たすある$p^{\prime }\in S$、つまり、$p^{\prime }\ne p$、に対して、${\sigma }^{n+1}(p^{\prime })\ne {\sigma }^k(p^{\prime })$かもしれない。実のところ、当該シーケンス（列）は$(\sigma ,{\sigma }^2,...)$よりも早く前へ戻るかもしれない。証明のロジックはほとんど同じであるが。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: そのうちに${\sigma }^{n+1}(p)\in \{\sigma (p),...,{\sigma }^n(p)\}$となることを見て、${\sigma }^{n+1}(p)={\sigma }^k(p)$とする; ステップ2: $k=1$であることを見る; ステップ3: ${\sigma }^n(p)=p$であることを見る。

ステップ1:

当該シーケンス（列）内の各項は$S$内にあり、$S$はファイナイト（有限）であるから、そのうちに、${\sigma }^{n+1}(p)\in \{\sigma (p),...,{\sigma }^n(p)\}$となる、なぜなら、$S$のカーディナリティより多くのディスティンクト（互いに異なる）項たちはあり得ない。

以下を満たすある$k\in \mathbb{N}$、つまり、$1\le k\le n$で${\sigma }^{n+1}(p)={\sigma }^k(p)$、がある。

ステップ2:

$0\le n-k$、したがって、$2\le n-k+2\le n-1+2=n+1$。

${\sigma }^{n+1}(p)={\sigma }^k(p)$であるので、${\sigma }^{n-k+2}(p)={\sigma }^{n+1-(k-1)}(p)={\sigma }^{-(k-1)}{\sigma }^{n+1}(p)={\sigma }^{-(k-1)}{\sigma }^k(p)={\sigma }^{k-(k-1)}(p)=\sigma (p)$。$2\le n-k+2\le n+1$であるから、$n-k+2=n+1$、なぜなら、そうでなければ、$\{\sigma (p),...,{\sigma }^n(p)\}$はディスティンクト（互いに異なる）でないことになる。それが含意するのは、$k=1$。

したがって、${\sigma }^{n+1}(p)=\sigma (p)$。

ステップ3:

しかし、それが含意するのは、$\sigma ({\sigma }^n(p))=\sigma (p)$、そして、$\sigma$はバイジェクティブ（全単射）であるから、${\sigma }^n(p)=p$。

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参考資料

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