パーミュテーション（並べ替え）たちグループ（群）、その要素、パーミュテーション（並べ替え）たちドメイン（定義域）の要素に対して、要素のパワー（累乗）オペレーションたちをドメイン（定義域）要素に作用させたシーケンス（列）はドメイン（定義域）要素から前へ戻ることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のパーミュテーション（並べ替え）たちグループ（群）、その任意の要素、当該パーミュテーション（並べ替え）たちドメイン（定義域）の任意の要素に対して、当該要素のパワー（累乗）オペレーションたちを当該ドメイン（定義域）要素に作用させたシーケンス（列）は当該ドメイン（定義域）要素から前へ戻るという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S\): \(\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）セット（集合）たち }\}\)、で任意のリニアオーダー（線形順序）を持つもの
\(G\): \(= S \text{ のパーミュテーション（並べ替え）たちグループ（群） }\)
\(\sigma\): \(\in G\)
\(p\): \(\in S\)
\((\sigma (p), \sigma^2 (p), ...)\):
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists n \in \mathbb{N} \text{ で以下を満たすもの、つまり、 } 1 \le n (\{\sigma (p), ..., \sigma^n (p)\} \text{ は互いに異なる } \land \sigma^{n + 1} (p) \in \{\sigma (p), ..., \sigma^n (p)\})\)
\(\land\)
\(\sigma^n (p) = p\)
//
勿論、\(p\)を当該シーケンス（列）の先頭に挿入して\((p, \sigma (p), ..., \sigma^{n - 1} (p), \sigma^n (p) = p, ...)\)とすることができる。
2: 注
本命題は、任意のグループ（群）に対して、任意の要素の累乗たちシーケンス（列）で前に戻るものは当該要素に戻るという命題に類似しているが、それが即座に含意しているものではない、なぜなら、\(\sigma^{n + 1} (p) = \sigma^k (p)\)は必ずしも\(\sigma^{n + 1} = \sigma^k\)を意味しない、なぜなら、以下を満たすある\(p' \in S\)、つまり、\(p' \neq p\)、に対して、\(\sigma^{n + 1} (p') \neq \sigma^k (p')\)かもしれない。実のところ、当該シーケンス（列）は\((\sigma, \sigma^2, ...)\)よりも早く前へ戻るかもしれない。証明のロジックはほとんど同じであるが。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: そのうちに\(\sigma^{n + 1} (p) \in \{\sigma (p), ..., \sigma^n (p)\}\)となることを見て、\(\sigma^{n + 1} (p) = \sigma^k (p)\)とする; ステップ2: \(k = 1\)であることを見る; ステップ3: \(\sigma^n (p) = p\)であることを見る。
ステップ1:
当該シーケンス（列）内の各項は\(S\)内にあり、\(S\)はファイナイト（有限）であるから、そのうちに、\(\sigma^{n + 1} (p) \in \{\sigma (p), ..., \sigma^n (p)\}\)となる、なぜなら、\(S\)のカーディナリティより多くのディスティンクト（互いに異なる）項たちはあり得ない。
以下を満たすある\(k \in \mathbb{N}\)、つまり、\(1 \le k \le n\)で\(\sigma^{n + 1} (p) = \sigma^k (p)\)、がある。
ステップ2:
\(0 \le n - k\)、したがって、\(2 \le n - k + 2 \le n - 1 + 2 = n + 1\)。
\(\sigma^{n + 1} (p) = \sigma^k (p)\)であるので、\(\sigma^{n - k + 2} (p) = \sigma^{n + 1 - (k - 1)} (p) = \sigma^{- (k - 1)} \sigma^{n + 1} (p) = \sigma^{- (k - 1)} \sigma^k (p) = \sigma^{k - (k - 1)} (p) = \sigma (p)\)。\(2 \le n - k + 2 \le n + 1\)であるから、\(n - k + 2 = n + 1\)、なぜなら、そうでなければ、\(\{\sigma (p), ..., \sigma^n (p)\}\)はディスティンクト（互いに異なる）でないことになる。それが含意するのは、\(k = 1\)。
したがって、\(\sigma^{n + 1} (p) = \sigma (p)\)。
ステップ3:
しかし、それが含意するのは、\(\sigma (\sigma^n (p)) = \sigma (p)\)、そして、\(\sigma\)はバイジェクティブ（全単射）であるから、\(\sigma^n (p) = p\)。
