864: $C^\infty$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、エンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、上の各ポイントの周りに、マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対するトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）でサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、とのインターセクション（共通集合）がチャートドメイン（定義域）であるものがある|T.B.P.日本語版

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C^{\infty}

マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、エンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、の各ポイントの周りに、マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対するトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）でサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、とのインターセクション（共通集合）がチャートドメイン（定義域）であるものがあることの記述/証明

話題

About: $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト

読者は、任意の $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）、その任意のバウンダリー（境界）付き、エンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、当該サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、上の各ポイントの周りに、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対するあるトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）で当該サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、とのインターセクション（共通集合）が当該サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対するチャートドメイン（定義域）であるものがあるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:

M^{'}

\in {全ての C^{\infty} マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち}

M

\in {M^{'} の全てのエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち}

m

\in M

//

ステートメント（言明）たち:

\exists U_{m}^{'} \in {M^{'} の m の周りの全てのトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）たち} (U_{m}^{'} \cap M \in {M に対する全てのチャートドメイン（定義域）たち})

2: 注

要点は、

M^{'}

は非空バウンダリー（境界）を持っていてもよいということである:

M^{'}

がバウンダリー（境界）なしの時は、スライスチャートたち定理が使えて、

U_{m}^{'}

をアダプテッドチャートドメイン（定義域）として持てる; 本命題が言っているのは、

M^{'}

が非空バウンダリー（境界）を持っている時でも、ある

U_{m}^{'}

、それは必ずしもチャートドメイン（定義域）ではない、が選べる、ということ。

3: 証明

全体戦略: ステップ1:

m

の周りの

M^{'}

に対する任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）

V_{m}^{'}

を取る; ステップ2:

m

の

M

上における任意のオープンネイバーフッド（開近傍）

V_{m}

でそのインクルージョン（封入）が

V_{m}^{'}

内に包含されているものを取り、

V_{m}

内に包含されている任意のチャートドメイン（定義域）

W_{m}

を取る; ステップ3:

W_{m} = W_{m}^{'} \cap M

とし、

U_{m}^{'} := V_{m}^{'} \cap W_{m}^{'}

および

U_{m} := U_{m}^{'} \cap M

を取り、

U_{m}^{'}

は

M^{'}

に対するトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）であり

U_{m}

は

M

に対するチャートドメイン（定義域）であることを見る。

ステップ1:

m

の周りの

M^{'}

のための任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）

V_{m}^{'} \subseteq M^{'}

を取ろう。

ステップ2:

ι : M \to M^{'}

をインクルージョン（封入）としよう。

ι

はコンティニュアス（連続）であるから、

m

の

M

上における以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）

V_{m} \subseteq M

、つまり、

ι (V_{m}) \subseteq V_{m}^{'}

、がある。

V_{m}

内に包含されている以下を満たすあるチャートドメイン（定義域）

W_{m} \subseteq M

、つまり、

W_{m} \subseteq V_{m}

、がある、なぜなら、

m

の周りのあるチャートドメイン（定義域）があるが、当該チャートドメイン（定義域）と

V_{m}

のインターセクション（共通集合）はチャートドメイン（定義域）である、任意の

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、その任意のチャートに対して、当該チャートの、任意のオープンサブセット（開部分集合）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）はチャートであるという命題によって、そして、当該インターセクション（共通集合）を

W_{m}

にできる。

ステップ3:

M

は

M^{'}

のサブスペース（部分空間）トポロジーを持つので、

W_{m} = W_{m}^{'} \cap M

である、ここで、

W_{m}^{'} \subseteq M^{'}

は

m

の

M^{'}

上におけるオープンサブセット（開部分集合）。

U_{m}^{'} := V_{m}^{'} \cap W_{m}^{'}

および

U_{m} := U_{m}^{'} \cap M

を取ろう。

U_{m}^{'}

は

V_{m}^{'}

のオープンサブセット（開部分集合）であるから、

U_{m}^{'}

は

M^{'}

に対するトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）である、任意の

C^{\infty}

トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）の任意のオープンサブセット（開部分集合）は

C^{\infty}

トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）であるという命題によって。

U_{m} = U_{m}^{'} \cap M = V_{m}^{'} \cap W_{m}^{'} \cap M = V_{m}^{'} \cap M \cap W_{m}^{'} \cap M = V_{m}^{'} \cap M \cap W_{m}

は

W_{m}

のオープンサブセット（開部分集合）である（

W_{m}

は

M

のトポロジカルサブスペース（部分空間）であり

V_{m}^{'} \cap M

は

M

上でオープン（開）である）ので、

U_{m}

はチャートドメイン（定義域）である、任意の

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、その任意のチャートに対して、当該チャートの、任意のオープンサブセット（開部分集合）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）はチャートであるという命題によって。

参考資料