855: リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つものに対して、ファイナイト（有限）数ベクトルたちのリニアコンビネーション（線形結合）は、0であることなしに各構成要素へ直交することはできない

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リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つものに対して、ファイナイト（有限）数ベクトルたちのリニアコンビネーション（線形結合）は、0であることなしに各構成要素へ直交することはできないことの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のインナープロダクト（内積）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）を持つものに対して、任意のファイナイト（有限）数ベクトルたちの任意のリニアコンビネーション（線形結合）は、0であることなしに各構成要素へ直交することはできないという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$
$V$: $\in \{\text{ 全ての }F\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$⟨\bullet ,\bullet ⟩$: $:V\times V\to F$, $\in \{V\text{ 上の全てのインナープロダクト（内積）たち }\}$
$\{v_1,...,v_k\}$: $\subseteq V$
$v$: $=r^1{v}_1+...+r^k{v}_k\in V$、ここで、$r^j\in F$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\forall }j\in \{1,...,k\}(⟨v,v_j⟩=0)$
$⟹$
$v=0$
//

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2: 証明

$\mathrm{\forall }j\in \{1,...,k\}(⟨v,v_j⟩=0)$であると仮定しよう。

$⟨v_j,v⟩=\overline{⟨v,v_j⟩}=0$。

$⟨v,v⟩=⟨r^1{v}_1+...+r^k{v}_k,v⟩=r^1⟨v_1,v⟩+...+r^k⟨v_k,v⟩=r^{1}0+...+r^{k}0=0$、それが含意するのは、$v=0$、インナープロダクト（内積）の定義によって。

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参考資料

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