871: サブグループ（部分群）のグループ（群）上におけるノーマライザー（正規化群）

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サブグループ（部分群）のグループ（群）上におけるノーマライザー（正規化群）の定義

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話題

About: グループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、サブグループ（部分群）のグループ（群）上におけるノーマライザー（正規化群）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$G^{\prime }$: $\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}$
$G$: $\in \{G^{\prime }\text{ の全てのサブグループ（部分群）たち }\}$
$\ast N_{G^{\prime }}(G)$: $=\{g^{\prime }\in G^{\prime }|g^{\prime }G{g}^{\prime -1}=G\}$
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コンディションたち:
//

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2: 注

この名称は、$N_{G^{\prime }}(G)$は、$G^{\prime }$のサブグループ（群）で、$G$がそれのノーマルサブグループ（正規部分群）であるような最大のものであるという事実から発生した。

その事実を確認しよう。

$N_{G^{\prime }}(G)$はグループ（群）であることを見よう。

各$h_1,h_2\in N_{G^{\prime }}(G)$に対して、$h_1{h}_2\in N_{G^{\prime }}(G)$、なぜなら、$h_1{h}_{2}G(h_1{h}_2{)}^{-1}=h_1{h}_{2}G{h_2}^{-1}{h_1}^{-1}=h_{1}G{h_1}^{-1}=G$。

$1\in N_{G^{\prime }}(G)$、なぜなら、$1G{1}^{-1}=G$。

各$h\in N_{G^{\prime }}(G)$に対して、$h^{-1}\in N_{G^{\prime }}(G)$、なぜなら、$h^{-1}Gh=h^{-1}(hG{h}^{-1})h=(h^{-1}h)G(h^{-1}h)=1G1=G$。

アソシアティビティ（結合性）は成立する、なぜなら、それは周囲$G^{\prime }$内で成立する。

$G\subseteq N_{G^{\prime }}(G)$、なぜなら、各$g\in G$に対して、$gG{g}^{-1}=G$。

$G$は$N_{G^{\prime }}(G)$のノーマルサブグループ（正規部分群）である、なぜなら、各$h\in N_{G^{\prime }}(G)$に対して、$hG{h}^{-1}$。

$N_{G^{\prime }}(G)$はそうしたものたちの中で最大である、なぜなら、もしも、$G^{\prime }$のあるサブグループ（部分群）$G^{″}$で$G$が$G^{″}$のノーマルサブグループ（正規部分群）であるようなものがあれば、各$g^{″}\in G^{″}$に対して、$g^{″}G{g}^{″-1}=G$、それが意味するのは、$g^{″}\in N_{G^{\prime }}(G)$、それが意味するのは、$G^{″}\subseteq N_{G^{\prime }}(G)$。

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参考資料

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