サブグループ（部分群）のグループ（群）上におけるノーマライザー（正規化群）の定義
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、サブグループ（部分群）のグループ（群）上におけるノーマライザー（正規化群）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( G'\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\( G\): \(\in \{G' \text{ の全てのサブグループ（部分群）たち }\}\)
\(*N_{G'} (G)\): \(= \{g' \in G' \vert g' G g'^{-1} = G\}\)
//
コンディションたち:
//
2: 注
この名称は、\(N_{G'} (G)\)は、\(G'\)のサブグループ（群）で、\(G\)がそれのノーマルサブグループ（正規部分群）であるような最大のものであるという事実から発生した。
その事実を確認しよう。
\(N_{G'} (G)\)はグループ（群）であることを見よう。
各\(h_1, h_2 \in N_{G'} (G)\)に対して、\(h_1 h_2 \in N_{G'} (G)\)、なぜなら、\(h_1 h_2 G (h_1 h_2)^{-1} = h_1 h_2 G {h_2}^{-1} {h_1}^{-1} = h_1 G {h_1}^{-1} = G\)。
\(1 \in N_{G'} (G)\)、なぜなら、\(1 G 1^{-1} = G\)。
各\(h \in N_{G'} (G)\)に対して、\(h^{-1} \in N_{G'} (G)\)、なぜなら、\(h^{-1} G h = h^{-1} (h G h^{-1}) h = (h^{-1} h) G (h^{-1} h) = 1 G 1 = G\)。
アソシアティビティ（結合性）は成立する、なぜなら、それは周囲\(G'\)内で成立する。
\(G \subseteq N_{G'} (G)\)、なぜなら、各\(g \in G\)に対して、\(g G g^{-1} = G\)。
\(G\)は\(N_{G'} (G)\)のノーマルサブグループ（正規部分群）である、なぜなら、各\(h \in N_{G'} (G)\)に対して、\(h G h^{-1}\)。
\(N_{G'} (G)\)はそうしたものたちの中で最大である、なぜなら、もしも、\(G'\)のあるサブグループ（部分群）\(G''\)で\(G\)が\(G''\)のノーマルサブグループ（正規部分群）であるようなものがあれば、各\(g'' \in G''\)に対して、\(g'' G g''^{-1} = G\)、それが意味するのは、\(g'' \in N_{G'} (G)\)、それが意味するのは、\(G'' \subseteq N_{G'} (G)\)。
