グループ（群）のシローp-サブグループ（部分群）の定義
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、p-グループ（群）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、グループ（群）のシローp-サブグループ（部分群）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\( p\): \(\in \{\text{ 全てのプライムナンバー（素数）たち }\}\)
\( B\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(*G_{p, \beta}\): \(\in \{G \text{ の全てのマキシマル（最大）p-サブグループ（部分群）たち }\}\), \(\beta \in B\)
//
コンディションたち:
//
"マキシマル（最大）p-サブグループ（部分群）"が意味するのは、それはp-サブグループ（部分群）であり、それを包含するp-サブグループ（部分群）はないということ。
\(Syl_p (G) := \{G_{p, \beta} \vert \beta \in B\}\)、それは、\(G\)の全てのシローp-サブグループ（部分群）たちのセット（集合）である。
2: 注
ある恣意的な\(p\)に対して、シローp-サブグループ（部分群）は全然ないかもしれない、なぜなら、p-サブグループ（部分群）は全然ないかもしれない。
もしも、あるp-サブグループ（部分群）\(H\)がある場合、\(H\)を包含するあるシローp-サブグループ（部分群）がある、それは、ゾーンの補題による: \(A\)を\(H\)を包含するp-サブグループ（部分群）たちのセット（集合）とする; \(B\)を\(A\)の任意の非空チェーンとする; \(\cup B \in A\)、なぜなら、各\(g_1, g_2 \in \cup B\)に対して、\(g_1 \in C \in B\)および\(g_2 \in D \in B\)、しかし、\(C \subseteq D\)または\(D \subseteq C\); 一般性を失なうことなく\(C \subseteq D\)と仮定して、\(g_1, g_2 \in D\); \(g_1 g_2 \in D \in \cup B\); \(1 \in C \in \cup B\); 各\(g \in \cup B\)に対して、\(g \in C\)、\(g^{-1} \in C\); したがって、\(\cup B\)はサブグループ（群）である; 各\(g \in \cup B\)に対して、\(g \in C\)、そして、\(g\)は\(p\)のある指数乗のオーダーを持つ; \(H \subseteq \cup B\); したがって、\(\cup B\)は\(H\)を包含するp-サブグループ（部分群）である、それが意味するのは、\(\cup B \in A\); すると、ゾーンの補題は、\(H\)を包含するあるp-サブグループ（部分群）があると言う。
\(G\)がファイナイト（有限）である時は、\(\vert G \vert = p_1^{n_1} ... p_k^{n_k}\)、何らかのプライムナンバー（素数）たち\(p_1 \lt ... \lt p_k\)および何らかの\(n_1, ..., n_k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して。\(G\)の各シロー\(p_j\)-サブグループ（部分群）のオーダーは\(p_j^{n_j}\)、それは、シロー定理の一部である。
