2024年11月24日日曜日

872: グループ（群）のシローp-サブグループ（部分群）

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グループ（群）のシローp-サブグループ（部分群）の定義

話題


About: グループ（群）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、グループ（群）のシローp-サブグループ（部分群）の定義を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
G: ∈{ 全てのグループ（群）たち }
p: ∈{ 全てのプライムナンバー（素数）たち }
B: ∈{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }
∗Gp,β: ∈{G の全てのマキシマル（最大）p-サブグループ（部分群）たち }, β∈B
//

コンディションたち:
//

"マキシマル（最大）p-サブグループ（部分群）"が意味するのは、それはp-サブグループ（部分群）であり、それを包含するp-サブグループ（部分群）はないということ。

Sylp(G):={Gp,β|β∈B}、それは、Gの全てのシローp-サブグループ（部分群）たちのセット（集合）である。

2: 注


ある恣意的なpに対して、シローp-サブグループ（部分群）は全然ないかもしれない、なぜなら、p-サブグループ（部分群）は全然ないかもしれない。

もしも、あるp-サブグループ（部分群）Hがある場合、Hを包含するあるシローp-サブグループ（部分群）がある、それは、ゾーンの補題による: AをHを包含するp-サブグループ（部分群）たちのセット（集合）とする; BをAの任意の非空チェーンとする; ∪B∈A、なぜなら、各g1,g2∈∪Bに対して、g1∈C∈Bおよびg2∈D∈B、しかし、C⊆DまたはD⊆C; 一般性を失なうことなくC⊆Dと仮定して、g1,g2∈D; g1g2∈D∈∪B; 1∈C∈∪B; 各g∈∪Bに対して、g∈C、g−1∈C; したがって、∪Bはサブグループ（群）である; 各g∈∪Bに対して、g∈C、そして、gはpのある指数乗のオーダーを持つ; H⊆∪B; したがって、∪BはHを包含するp-サブグループ（部分群）である、それが意味するのは、∪B∈A; すると、ゾーンの補題は、Hを包含するあるp-サブグループ（部分群）があると言う。

Gがファイナイト（有限）である時は、|G|=p1n1...pknk、何らかのプライムナンバー（素数）たちp1<...<pkおよび何らかのn1,...,nk∈N∖{0}に対して。Gの各シローpj-サブグループ（部分群）のオーダーはpjnj、それは、シロー定理の一部である。

参考資料
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