873: エンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、に関するリストリクテッド（制限された）C∞ベクトルたちバンドル（束）はエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付きである

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エンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、に関するリストリクテッド（制限された）$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）はエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付きであることの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、リストリクテッド（制限された）$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）の定義を知っている。
• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のオープン（開）サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
• 読者は、任意の周囲トポロジカルスペース（空間）内に包含された任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、もしも、当該スペース（空間）が、周囲スペース（空間）的にローカルに当該周囲スペース（空間）のトポロジカルサブスペース（部分空間）である場合、当該スペース（空間）は当該周囲スペース（空間）のトポロジカルサブスペース（部分空間）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、その任意のバウンダリー（境界）付き、エンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、当該サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、上の各ポイントの周りに、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対するあるトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）で当該サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、とのインターセクション（共通集合）が当該サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対するチャートドメイン（定義域）であるものがあるという命題を認めている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、に対して、任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、は、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、に関するリストリクテッド（制限された）$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）はエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付きであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$(E^{\prime },M^{\prime },{\pi }^{\prime })$: $\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ ベクトルたちバンドル（束）たち }\}$
$M$: $\in \{M^{\prime }\text{ の全ての }d\text{ -ディメンショナル（次元）エンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
$(E,M,\pi )$: $=\text{ 当該リストリクテッド（制限された） }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ ベクトルたちバンドル（束） }$
//

ステートメント（言明）たち:
$E\in \{E^{\prime }\text{ の全てのエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
//

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2: 注

$E$は$E^{\prime }$のイマーストサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、であることを既に私たちは知っている、リストリクテッド（制限された）$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）の定義の"注"によって。

定義上は、$E$は、あるエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、$M$に対して、$E^{\prime }$のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、である必要はない、しかし、実のところ、$E$は$E^{\prime }$のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、である、それが、私たちが証明しようとすることである。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $E$は$E^{\prime }$のサブスペース（部分空間）トポロジーを持つことを見る、任意の周囲トポロジカルスペース（空間）内に包含された任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、もしも、当該スペース（空間）が、周囲スペース（空間）的にローカルに当該周囲スペース（空間）のトポロジカルサブスペース（部分空間）である場合、当該スペース（空間）は当該周囲スペース（空間）のトポロジカルサブスペース（部分空間）であるという命題によって; ステップ2: インクルージョン（封入）$\iota :E\to E^{\prime }$は$C^{\mathrm{\infty }}$エンベディング（埋め込み）であることを見る。

ステップ1:

$E$は$E^{\prime }$のサブスペース（部分空間）トポロジーを持つことを見よう。

私たちは、任意の周囲トポロジカルスペース（空間）内に包含された任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、もしも、当該スペース（空間）が、周囲スペース（空間）的にローカルに当該周囲スペース（空間）のトポロジカルサブスペース（部分空間）である場合、当該スペース（空間）は当該周囲スペース（空間）のトポロジカルサブスペース（部分空間）であるという命題を適用する。

$m\in M$は任意のものとしよう。

$m$の周りに$M^{\prime }$に対する以下を満たすトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）$U_m^{\prime }\subseteq M^{\prime }$、つまり、$U_m:=U_m^{\prime }\cap M$は$M$に対するチャートドメイン（定義域）である、がある、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、その任意のバウンダリー（境界）付き、エンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、当該サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、上の各ポイントの周りに、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対するあるトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）で当該サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、とのインターセクション（共通集合）が当該サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対するチャートドメイン（定義域）であるものがあるという命題によって。当該チャートは$(U_m\subseteq M,{\varphi }_m)$であるとしよう。

対応する$U_{\beta }^{\prime }$たちおよび$(U_{\beta }\subseteq M,{\varphi }_{\beta })$たちは、リストリクテッド（制限された）$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）の定義の中で$E$のトポロジーおよびアトラスを構成するために使われるものたちとして妥当である: $U_{\beta }$は$M$のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、である、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のオープン（開）サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義に対する"注"によって、そして、$U_{\beta }$は$M^{\prime }$のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、である、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、に対して、任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、は、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、であるという命題によって。$\{(U_{\beta }\subseteq M,{\varphi }_{\beta })|\beta \in B\}$および$\{U_{\beta }^{\prime }|\beta \in B\}$および$\{{\mathrm{\Phi }}_{\beta }^{\prime }:{\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })\to U_{\beta }^{\prime }\times {\mathbb{R}}^k|\beta \in B\}$を取る、それに応じて。

$E$上の各ポイントに対して、任意の周囲トポロジカルスペース（空間）内に包含された任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、もしも、当該スペース（空間）が、周囲スペース（空間）的にローカルに当該周囲スペース（空間）のトポロジカルサブスペース（部分空間）である場合、当該スペース（空間）は当該周囲スペース（空間）のトポロジカルサブスペース（部分空間）であるという命題に対する当該ポイントの$E^{\prime }$上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）を${\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })$として取ろう。

${\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })$は本当に当該定理が要求するものであることを見よう。

${\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })$は本当に、当該ポイントの$E^{\prime }$上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）である、なぜなら、当該ポイントはその中に包含されており、$U_{\beta }^{\prime }$は$M^{\prime }$上でオープン（開）であり、${\pi }^{\prime }$はコンティニュアス（連続）である。

${\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })\cap E$は$E$のオープンサブセット（開部分集合）であるか？

はい、なぜなら、${\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })\cap E={\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })\cap {\pi }^{\prime -1}(M)={\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime }\cap M)$、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題によって、$={\pi }^{-1}(U_{\beta })$、それは$E$上でオープン（開）である、なぜなら、$U_{\beta }$は$M$上でオープン（開）であり、$\pi$はコンティニュアス（連続）である。

${\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })\cap E\subseteq E\text{ 、 }E\text{ のサブスペース（部分空間）として }$は、${\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })\cap E\subseteq {\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })\text{ 、 }{\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })\text{ のサブスペース（部分空間）として }$に等しいか？

${\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })\cap E\subseteq E$は、${\pi }^{-1}(U_{\beta })$に他ならず、${\mathrm{\Phi }}_{\beta }:{\pi }^{-1}(U_{\beta })\to U_{\beta }\times {\mathbb{R}}^k$はホメオモーフィック（位相同形写像）である。

各サブセット（部分集合）$S\subseteq {\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })\cap E$に対して、$S\cap E=S\cap {\pi }^{-1}(U_{\beta })$、なぜなら、$S\cap {\pi }^{-1}(U_{\beta })\subseteq S\cap E$は明らかである一方で、各$p\in S\cap E$に対して、$p\in S\subseteq {\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })$、それが含意するのは、${\pi }^{\prime }(p)=\pi (p)\in U_{\beta }^{\prime }$、しかし、$\pi (p)\in M$でもある、したがって、$\pi (p)\in U_{\beta }^{\prime }\cap M=U_{\beta }$、したがって、$p\in {\pi }^{-1}(U_{\beta })$、そして、$p\in S\cap {\pi }^{-1}(U_{\beta })$、したがって、$S\cap E\subseteq S\cap {\pi }^{-1}(U_{\beta })$。

特に、${\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })\cap E={\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })\cap {\pi }^{-1}(U_{\beta })$。

${\mathrm{\Phi }}_{\beta }^{\prime }:{\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })\to U_{\beta }^{\prime }\times {\mathbb{R}}^k$はホメオモーフィック（位相同形写像）である、そして、${\mathrm{\Phi }}_{\beta }^{\prime }{|}_{{\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })\cap E}:{\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })\cap E={\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })\cap {\pi }^{-1}(U_{\beta })\to {\mathrm{\Phi }}_{\beta }^{\prime }({\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })\cap {\pi }^{-1}(U_{\beta }))={\mathrm{\Phi }}_{\beta }^{\prime }({\pi }^{-1}(U_{\beta }))={\mathrm{\Phi }}_{\beta }({\pi }^{-1}(U_{\beta }))=U_{\beta }\times {\mathbb{R}}^k\subseteq U_{\beta }^{\prime }\times {\mathbb{R}}^k$はホメオモーフィック（位相同形写像）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。注意として、それがホメオモーフィック（位相同形写像）であるのは、ドメイン（定義域）${\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })\cap E$は${\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })$のサブスペース（部分空間）とみなされ、コドメイン（余域）$U_{\beta }\times {\mathbb{R}}^k$は$U_{\beta }^{\prime }\times {\mathbb{R}}^k$のサブスペース（部分空間）とみなされてのことである。

アイデンティティマップ（恒等写像）$id:U_{\beta }\times {\mathbb{R}}^k\to U_{\beta }\times {\mathbb{R}}^k\subseteq U_{\beta }^{\prime }\times {\mathbb{R}}^k$のことを考えよう。実のところ、$U_{\beta }\times {\mathbb{R}}^k\subseteq U_{\beta }^{\prime }\times {\mathbb{R}}^k$の$U_{\beta }^{\prime }\times {\mathbb{R}}^k$のサブスペース（部分空間）とみなされたものは、$U_{\beta }\times {\mathbb{R}}^k$に他ならない、なぜなら、$M$は$M^{\prime }$のトポロジカルサブスペース（部分空間）である。

さて、${\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })\cap E\subseteq E={\pi }^{-1}(U_{\beta })$の各オープンサブセット（開部分集合）$U$に対して、${\mathrm{\Phi }}_{\beta }(U)\subseteq U_{\beta }\times {\mathbb{R}}^k$はオープン（開）である; $id({\mathrm{\Phi }}_{\beta }(U))\subseteq U_{\beta }\times {\mathbb{R}}^k\subseteq U_{\beta }^{\prime }\times {\mathbb{R}}^k$はオープン（開）である; ${{\mathrm{\Phi }}_{\beta }^{\prime }{|}_{{\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })\cap E}}^{-1}(id({\mathrm{\Phi }}_{\beta }(U)))\subseteq {\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })\cap E\subseteq {\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })$はオープン（開）である。実のところ、その${{\mathrm{\Phi }}_{\beta }^{\prime }{|}_{{\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })\cap E}}^{-1}\circ id\circ {\mathrm{\Phi }}_{\beta }$はアイデンティティマップ（恒等写像）である、なぜなら、${\mathrm{\Phi }}_{\beta }$は${\mathrm{\Phi }}_{\beta }^{\prime }$のリストリクション（制限）である。それが示すのは、${\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })\cap E\subseteq E$の各オープンサブセット（開部分集合）は${\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })\cap E\subseteq {\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })$上でオープン（開）であるということ。

同様に、${\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })\cap E\subseteq {\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })$の各オープンサブセット（開部分集合）$U$に対して、${\mathrm{\Phi }}_{\beta }^{\prime }{|}_{{\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })\cap E}(U)\subseteq U_{\beta }\times {\mathbb{R}}^k\subseteq U_{\beta }^{\prime }\times {\mathbb{R}}^k$はオープン（開）である; ${id}^{-1}({\mathrm{\Phi }}_{\beta }^{\prime }{|}_{{\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })\cap E}(U))\subseteq U_{\beta }\times {\mathbb{R}}^k$はオープン（開）である; ${{\mathrm{\Phi }}_{\beta }}^{-1}({id}^{-1}({\mathrm{\Phi }}_{\beta }^{\prime }{|}_{{\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })\cap E}(U))\subseteq {\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })\cap E\subseteq E$はオープン（開）である。実のところ、その${{\mathrm{\Phi }}_{\beta }}^{-1}\circ {id}^{-1}\circ {\mathrm{\Phi }}_{\beta }^{\prime }{|}_{{\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })\cap E}$はアイデンティティマップ（恒等写像）である、なぜなら、${\mathrm{\Phi }}_{\beta }$は${\mathrm{\Phi }}_{\beta }^{\prime }$のリストリクション（制限）である。それが示すのは、${\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })\cap E\subseteq {\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })$の各オープンサブセット（開部分集合）は${\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })\cap E\subseteq E$上でオープン（開）であるということ。

したがって、はい、${\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })\cap E\subseteq E\text{ 、 }E\text{ のサブスペース（部分空間）として }$は、${\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })\cap E\subseteq {\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })\text{ 、 }{\pi }^{\prime -1}(U_{\beta }^{\prime })\text{ のサブスペース（部分空間）として }$に等しい。

したがって、$E$は$E^{\prime }$のトポロジカルサブスペース（部分空間）である。

ステップ2:

インクルージョン（封入）$\iota :E\to E^{\prime }$は$C^{\mathrm{\infty }}$エンベディング（埋め込み）であることを見よう。

$\iota$は$C^{\mathrm{\infty }}$イマージョンであることを私たちは既に知っている、なぜなら、$E$は$E^{\prime }$のイマーストサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、である。

コドメイン（余域）リストリクション（制限）${\iota }^{\prime }:E\to \iota (E)\subseteq E^{\prime }$はホメオモーフィック（位相同形写像）である、なぜなら、$E$は$E^{\prime }$のサブスペース（部分空間）トポロジーを持つ、ステップ1によって、そして、${\iota }^{\prime }$はアイデンティティマップ（写像）である。

したがって、$\iota$は$C^{\mathrm{\infty }}$エンベディング（埋め込み）である。

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参考資料

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