2024年12月1日日曜日

882: \(C^\infty\)ベクトルたちバンドル(束)の\(C^\infty\)セクション(断面)たちのセット(集合)でポイントにおいてリニア(線形)にインディペンデント(独立)であるものは、ポイントのオープンネイバーフッド(開近傍)上でリニア(線形)にインディペンデント(独立)である

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\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル(束)の\(C^\infty\)セクション(断面)たちのセット(集合)でポイントにおいてリニア(線形)にインディペンデント(独立)であるものは、ポイントのオープンネイバーフッド(開近傍)上でリニア(線形)にインディペンデント(独立)であることの記述/証明

話題


About: \(C^\infty\)マニフォールド(多様体)

この記事の目次


開始コンテキスト



ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル(束)の任意の\(C^\infty\)セクション(断面)たちのセット(集合)であるポイントにおいてリニア(線形)にインディペンデント(独立)であるものは、当該ポイントのあるオープンネイバーフッド(開近傍)上でリニア(線形)にインディペンデント(独立)であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。


本体


1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある

エンティティ(実体)たち:
\((E, M, \pi)\): \(\in \{\text{ ランク } k \text{ の全ての } d \text{ -ディメンショナル(次元) } C^\infty \text{ ベクトルたちバンドル(束)たち }\}\)
\(p\): \(\in M\)
\(\{s_1, ..., s_l\}\): \(l \le k\), \(s_j: M \to E \in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ セクション(断面)たち }\}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(\{s_1 (p), ..., s_l (p)\} \in \{\pi^{-1} (p) \text{ の全てのリニア(線形)にインディペンデント(独立)サブセット(部分集合)たち }\}\)
//

ステートメント(言明)たち:
\(\exists V_p \subseteq M \in \{p \text{ 全てのオープンネイバーフッド(開近傍)たち }\} (\forall p' \in V_p (\{s_1 (p'), ..., s_l (p')\} \in \{\pi^{-1} (p') \text{ の全てのリニア(線形)にインディペンデント(独立)サブセット(部分集合)たち }\}))\)
//


2: 自然言語記述


ランク\(k\)の任意の\(d\)-ディメンショナル(次元)\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル(束)\((E, M, \pi)\)、任意のポイント\(p \in M\)、以下を満たす任意の\(C^\infty\)セクション(断面)たちのセット(集合)\(\{s_1, ..., s_l\}\)、つまり、\(l \le k\)、\(s_j: M \to E\)、\(\{s_1 (p), ..., s_l (p)\}\)は\(\pi^{-1} (p)\)のリニア(線形)にインディペンデント(独立)サブセット(部分集合)である、に対して、\(p\)の以下を満たすあるネイバーフッド(近傍)\(V_p \subseteq M\)、つまり、各\(p' \in V_p\)に対して、\(\{s_1 (p'), ..., s_l (p')\}\)は\(\pi^{-1} (p')\)のリニア(線形)にインディペンデント(独立)サブセット(部分集合)である。


3: 証明


全体戦略: ステップ1: \(M\)の\(p\)の周りのあるチャートトリビアライジングオープンサブセット(開部分集合)\((U_p \subseteq M, \phi_p)\)およびインデュースト(誘導された)チャート\((\pi^{-1} (U_p) \subseteq E, \widetilde{\phi_p})\)を取る; ステップ2: \(s_j\)のコンポーネントたちファンクション(関数)\(f_j := \widetilde{\phi_p} \circ s_j \circ {\phi_p}^{-1}\)を取る; ステップ3: \(\{\pi_k \circ f_1, ..., \pi_k \circ f_l\}\)、ここで、\(\pi_k\)は\(\mathbb{R}^k\)の中へのプロジェクション(射影)、は、\(\mathbb{R}^k\)上において\(\phi_p (p)\)においてリニア(線形)にインディペンデント(独立)であり、対応するマトリックス(行列)はランク\(l\)であることを見る、それが意味するのは、非ゼロデターミナント(行列式)の\(l \times l\)サブマトリックス(部分行列)があるということ; ステップ4: \(\phi_p (p)\)のあるオープンネイバーフッド(開近傍)\(U_{\phi_p (p)} \subseteq \phi_p (U_p)\)、その上で当該サブマトリックス(部分行列)のデターミナント(行列式)は非ゼロ、を取る; ステップ5: \(V_p := {\phi_p}^{-1} (U_{\phi_p (p)})\)を取り、\(\{s_1, ..., s_l\}\)は\(V_p\)上でリニア(線形)にインディペンデント(独立)であることを見る。

ステップ1:

\(M\)の\(p\)の周りのあるチャートトリビアライジングオープンサブセット(開部分集合)\((U_p \subseteq M, \phi_p)\)を取ろう、それは可能である、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル(束)に対して、あるチャートトリビアライジングオープンカバー(開被覆)があるという命題によって。

インデュースト(誘導された)チャート\((\pi^{-1} (U_p) \subseteq E, \widetilde{\phi_p})\)を取ろう、それは可能である、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル(束)に対して、任意のチャートトリビアライジングオープンサブセット(開部分集合)のトリビアライゼーションはカノニカル(正典)チャートマップ(写像)をインデュース(誘導)するという命題によって。

ステップ2:

\(s_j\)のコンポーネントたちファンクション(関数)\(f_j := \widetilde{\phi_p} \circ s_j \circ {\phi_p}^{-1}: \phi_p (U_p) \to \widetilde{\phi_p} (\pi^{-1} (U_p))\)、それは、\(C^\infty\)、を取ろう。

ステップ3:

\(\pi_k: \mathbb{R}^{d + k} \text{ or } \mathbb{H}^{d + k} \to \mathbb{R}^k\)は当該プロジェクション(射影)であるとしよう。

\(\{\pi_k \circ f_1, ..., \pi_k \circ f_l\}\)のことを考えよう。

\(\{\pi_k \circ f_1 (\phi_p (p)), ..., \pi_k \circ f_l (\phi_p (p))\}\)は\(\mathbb{R}^k\)リニア(線形)にインディペンデント(独立)サブセット(部分集合)であることを見よう。

\(\pi_k \circ f_j (\phi_p (p)) = \pi_k \circ \widetilde{\phi_p} \circ s_j \circ {\phi_p}^{-1} (\phi_p (p)) = \pi_k \circ \widetilde{\phi_p} \circ s_j (p) = \pi_k \circ \lambda \circ (\phi_p, id) \circ \Phi \circ s_j (p)\)、ここで、\(\Phi\)は、それによって\(\widetilde{\phi_p}\)がインデュースト(誘導された)トリビアライゼーションである、したがって、各ファイバーにおいて(したがって、特に\(\pi^{-1} (p)、そこに\(s_j (p)\)たちは属する、において)'ベクトルたちスペース(空間)たち - リニア(線形)モーフィズム(射)たち'アイソモーフィズム(同形写像)である、したがって、\(\{\pi_k \circ f_1 (\phi_p (p)), ..., \pi_k \circ f_l (\phi_p (p))\}\)は\(\mathbb{R}^k\)のリニア(線形)にインディペンデント(独立)サブセット(部分集合)である(ちなみに、\(\lambda\)は、\(: \mathbb{R}^{d + k} \to \mathbb{R}^{d + k}, (x^1, ..., x^d, x^{d + 1}, ..., x^{d + k}) \mapsto (x^{d + 1}, ..., x^{d + k}, x^1, ..., x^d)\))。

\(k \times l\)マトリックス(行列)\([\pi_k \circ f_1 (\phi_p (p)), ..., \pi_k \circ f_l (\phi_p (p))]\)のことを考えよう。

\(\{\pi_k \circ f_1 (\phi_p (p)), ..., \pi_k \circ f_l (\phi_p (p))\}\)がリニア(線形)にインディペンデント(独立)であるということが意味するのあは、当該マトリックス(行列)はランク\(l\)であるということ、それが意味するのは、ある非ゼロデターミナント(行列式)\(l \times l\)サブマトリックス(部分行列)\(C\)があるということ。

ステップ4:

私たちは\(C\)を\(\phi_p (p)\)におけるマトリックス(行列)と取っていたが、今や、\(C\)を\(\phi_p (U_p)\)からのマップ(写像)と考えよう: それは、\([\pi_k \circ f_1, ..., \pi_k \circ f_l]\).の\(l \times l\)サブマトリックス(部分行列)である。

\(C\)の各コンポーネントはコンティニュアス(連続)である(実のところ、\(C^\infty\))、\(\phi_p (U_p)\)に関して、から、\(det C\)はコンティニュアス(連続)である(実のところ、\(C^\infty\))、\(\phi_p (U_p)\)に関して。

したがって、\(\phi_p (p)\)のあるオープンネイバーフッド(開近傍)\(U_{\phi_p (p)} \subseteq \phi_p (U_p)\)で、その上で\(det C \neq 0\)であるものがある、それが意味するのは、\(\{\pi_k \circ f_1, ..., \pi_k \circ f_l\}\)は\(U_{\phi_p (p)}\)上でリニア(線形)にインディペンデント(独立)であるということ。

ステップ5:

\(V_p := {\phi_p}^{-1} (U_{\phi_p (p)})\)を取ろう。

\(V_p \subseteq U_p\)は\(p\)のオープンネイバーフッド(開近傍)である。

\(V_p\)上で、\(\{\pi_k \circ f_1 \circ \phi_p, ..., \pi_k \circ f_l \circ \phi_p\} = \{\pi_k \circ \widetilde{\phi_p} \circ s_1 \circ {\phi_p}^{-1} \circ \phi_p, ..., \pi_k \circ \widetilde{\phi_p} \circ s_l \circ {\phi_p}^{-1} \circ \phi_p\} = \{\pi_k \circ \widetilde{\phi_p} \circ s_1, ..., \pi_k \circ \widetilde{\phi_p} \circ s_l\}\)はリニア(線形)にインディペンデント(独立)である。

すると、\(\{s_1, ..., s_l\} = \{{\widetilde{\phi_p}}^{-1} \circ \widetilde{\phi_p} \circ s_1, ..., {\widetilde{\phi_p}}^{-1} \circ \widetilde{\phi_p} \circ s_l\}\)は\(V_p\)上でリニア(線形)にインディペンデント(独立)である、なぜなら、\(\widetilde{\phi_p} = \lambda \circ (\phi_p, id) \circ \Phi\)および\(\Phi\)は各ファイバーにおいて(したがって、特に、各\(p' \in V_p\)に対する\(\pi^{-1} (p')\)において)'ベクトルたちスペース(空間)たち - リニア(線形)モーフィズム(射)たち'アイソモーフィック(同形写像)である。


参考資料


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