882: C∞ベクトルたちバンドル（束）のC∞セクション（断面）たちのセット（集合）でポイントにおいてリニア（線形）にインディペンデント（独立）であるものは、ポイントのオープンネイバーフッド（開近傍）上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）である

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$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）の$C^{\mathrm{\infty }}$セクション（断面）たちのセット（集合）でポイントにおいてリニア（線形）にインディペンデント（独立）であるものは、ポイントのオープンネイバーフッド（開近傍）上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）であることの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ランク$k$の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）の定義を知っている。
• 読者は、コンティニュアス（連続）マップ（写像）のセクション（断面）の定義を知っている。
• 読者は、バウンダリー（境界）付きの$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の$C^k$マップ（写像）、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、の定義を知っている。
• 読者は、モジュール（加群）のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）の定義を知っている。
• 読者は、ポイントのネイバーフッド（近傍）の定義を知っている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）に対して、あるチャートトリビアライジングオープンカバー（開被覆）があるという命題を認めている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意のチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のトリビアライゼーションはカノニカル（正典）チャートマップ（写像）をインデュース（誘導）するという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$セクション（断面）たちのセット（集合）であるポイントにおいてリニア（線形）にインディペンデント（独立）であるものは、当該ポイントのあるオープンネイバーフッド（開近傍）上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$(E,M,\pi )$: $\in \{\text{ ランク }k\text{ の全ての }d\text{ -ディメンショナル（次元） }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ ベクトルたちバンドル（束）たち }\}$
$p$: $\in M$
$\{s_1,...,s_l\}$: $l\le k$, $s_j:M\to E\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ セクション（断面）たち }\}$で、以下を満たすもの、つまり、$\{s_1(p),...,s_l(p)\}\in \{{\pi }^{-1}(p)\text{ の全てのリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\exists }{V}_p\subseteq M\in \{p\text{ 全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\}(\mathrm{\forall }{p}^{\prime }\in V_p(\{s_1(p^{\prime }),...,s_l(p^{\prime })\}\in \{{\pi }^{-1}(p^{\prime })\text{ の全てのリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）たち }\}))$
//

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2: 自然言語記述

ランク$k$の任意の$d$-ディメンショナル（次元）$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）$(E,M,\pi )$、任意のポイント$p\in M$、以下を満たす任意の$C^{\mathrm{\infty }}$セクション（断面）たちのセット（集合）$\{s_1,...,s_l\}$、つまり、$l\le k$、$s_j:M\to E$、$\{s_1(p),...,s_l(p)\}$は${\pi }^{-1}(p)$のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）である、に対して、$p$の以下を満たすあるネイバーフッド（近傍）$V_p\subseteq M$、つまり、各$p^{\prime }\in V_p$に対して、$\{s_1(p^{\prime }),...,s_l(p^{\prime })\}$は${\pi }^{-1}(p^{\prime })$のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）である。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $M$の$p$の周りのあるチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）$(U_p\subseteq M,{\varphi }_p)$およびインデュースト（誘導された）チャート$({\pi }^{-1}(U_p)\subseteq E,\widetilde{{\varphi }_p})$を取る; ステップ2: $s_j$のコンポーネントたちファンクション（関数）$f_j:=\widetilde{{\varphi }_p}\circ s_j\circ {{\varphi }_p}^{-1}$を取る; ステップ3: $\{{\pi }_k\circ f_1,...,{\pi }_k\circ f_l\}$、ここで、${\pi }_k$は${\mathbb{R}}^k$の中へのプロジェクション（射影）、は、${\mathbb{R}}^k$上において${\varphi }_p(p)$においてリニア（線形）にインディペンデント（独立）であり、対応するマトリックス（行列）はランク$l$であることを見る、それが意味するのは、非ゼロデターミナント（行列式）の$l\times l$サブマトリックス（部分行列）があるということ; ステップ4: ${\varphi }_p(p)$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{{\varphi }_p(p)}\subseteq {\varphi }_p(U_p)$、その上で当該サブマトリックス（部分行列）のデターミナント（行列式）は非ゼロ、を取る; ステップ5: $V_p:={{\varphi }_p}^{-1}(U_{{\varphi }_p(p)})$を取り、$\{s_1,...,s_l\}$は$V_p$上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）であることを見る。

ステップ1:

$M$の$p$の周りのあるチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）$(U_p\subseteq M,{\varphi }_p)$を取ろう、それは可能である、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）に対して、あるチャートトリビアライジングオープンカバー（開被覆）があるという命題によって。

インデュースト（誘導された）チャート$({\pi }^{-1}(U_p)\subseteq E,\widetilde{{\varphi }_p})$を取ろう、それは可能である、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意のチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のトリビアライゼーションはカノニカル（正典）チャートマップ（写像）をインデュース（誘導）するという命題によって。

ステップ2:

$s_j$のコンポーネントたちファンクション（関数）$f_j:=\widetilde{{\varphi }_p}\circ s_j\circ {{\varphi }_p}^{-1}:{\varphi }_p(U_p)\to \widetilde{{\varphi }_p}({\pi }^{-1}(U_p))$、それは、$C^{\mathrm{\infty }}$、を取ろう。

ステップ3:

${\pi }_k:{\mathbb{R}}^{d+k}\text{ or }{\mathbb{H}}^{d+k}\to {\mathbb{R}}^k$は当該プロジェクション（射影）であるとしよう。

$\{{\pi }_k\circ f_1,...,{\pi }_k\circ f_l\}$のことを考えよう。

$\{{\pi }_k\circ f_1({\varphi }_p(p)),...,{\pi }_k\circ f_l({\varphi }_p(p))\}$は${\mathbb{R}}^k$リニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）であることを見よう。

${\pi }_k\circ f_j({\varphi }_p(p))={\pi }_k\circ \widetilde{{\varphi }_p}\circ s_j\circ {{\varphi }_p}^{-1}({\varphi }_p(p))={\pi }_k\circ \widetilde{{\varphi }_p}\circ s_j(p)={\pi }_k\circ \lambda \circ ({\varphi }_p,id)\circ \mathrm{\Phi }\circ s_j(p)$、ここで、$\mathrm{\Phi }$は、それによって$\widetilde{{\varphi }_p}$がインデュースト（誘導された）トリビアライゼーションである、したがって、各ファイバーにおいて（したがって、特に${\pi }^{-1}(p)、\mathrm{そ}\mathrm{こ}\mathrm{に}\text{(}{s}_j(p)$たちは属する、において）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、したがって、$\{{\pi }_k\circ f_1({\varphi }_p(p)),...,{\pi }_k\circ f_l({\varphi }_p(p))\}$は${\mathbb{R}}^k$のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）である（ちなみに、$\lambda$は、$:{\mathbb{R}}^{d+k}\to {\mathbb{R}}^{d+k},(x^1,...,x^d,x^{d+1},...,x^{d+k})\mapsto (x^{d+1},...,x^{d+k},x^1,...,x^d)$）。

$k\times l$マトリックス（行列）$[{\pi }_k\circ f_1({\varphi }_p(p)),...,{\pi }_k\circ f_l({\varphi }_p(p))]$のことを考えよう。

$\{{\pi }_k\circ f_1({\varphi }_p(p)),...,{\pi }_k\circ f_l({\varphi }_p(p))\}$がリニア（線形）にインディペンデント（独立）であるということが意味するのあは、当該マトリックス（行列）はランク$l$であるということ、それが意味するのは、ある非ゼロデターミナント（行列式）$l\times l$サブマトリックス（部分行列）$C$があるということ。

ステップ4:

私たちは$C$を${\varphi }_p(p)$におけるマトリックス（行列）と取っていたが、今や、$C$を${\varphi }_p(U_p)$からのマップ（写像）と考えよう: それは、$[{\pi }_k\circ f_1,...,{\pi }_k\circ f_l]$.の$l\times l$サブマトリックス（部分行列）である。

$C$の各コンポーネントはコンティニュアス（連続）である（実のところ、$C^{\mathrm{\infty }}$）、${\varphi }_p(U_p)$に関して、から、$detC$はコンティニュアス（連続）である（実のところ、$C^{\mathrm{\infty }}$）、${\varphi }_p(U_p)$に関して。

したがって、${\varphi }_p(p)$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{{\varphi }_p(p)}\subseteq {\varphi }_p(U_p)$で、その上で$detC\ne 0$であるものがある、それが意味するのは、$\{{\pi }_k\circ f_1,...,{\pi }_k\circ f_l\}$は$U_{{\varphi }_p(p)}$上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）であるということ。

ステップ5:

$V_p:={{\varphi }_p}^{-1}(U_{{\varphi }_p(p)})$を取ろう。

$V_p\subseteq U_p$は$p$のオープンネイバーフッド（開近傍）である。

$V_p$上で、$\{{\pi }_k\circ f_1\circ {\varphi }_p,...,{\pi }_k\circ f_l\circ {\varphi }_p\}=\{{\pi }_k\circ \widetilde{{\varphi }_p}\circ s_1\circ {{\varphi }_p}^{-1}\circ {\varphi }_p,...,{\pi }_k\circ \widetilde{{\varphi }_p}\circ s_l\circ {{\varphi }_p}^{-1}\circ {\varphi }_p\}=\{{\pi }_k\circ \widetilde{{\varphi }_p}\circ s_1,...,{\pi }_k\circ \widetilde{{\varphi }_p}\circ s_l\}$はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である。

すると、$\{s_1,...,s_l\}=\{{\widetilde{{\varphi }_p}}^{-1}\circ \widetilde{{\varphi }_p}\circ s_1,...,{\widetilde{{\varphi }_p}}^{-1}\circ \widetilde{{\varphi }_p}\circ s_l\}$は$V_p$上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）である、なぜなら、$\widetilde{{\varphi }_p}=\lambda \circ ({\varphi }_p,id)\circ \mathrm{\Phi }$および$\mathrm{\Phi }$は各ファイバーにおいて（したがって、特に、各$p^{\prime }\in V_p$に対する${\pi }^{-1}(p^{\prime })$において）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）である。

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参考資料

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