2024年12月8日日曜日

892: プリイメージ（前像）の後のマップ（写像）コンポジション（合成）はアイデンティカル（恒等）である、もしも、マップ（写像）が引数サブセット（部分集合）に関してサージェクティブ（全射）である場合

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>
プリイメージ（前像）の後のマップ（写像）コンポジション（合成）はアイデンティカル（恒等）である、もしも、マップ（写像）が引数サブセット（部分集合）に関してサージェクティブ（全射）である場合、ことの記述/証明

話題


About: セット（集合）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のセット（集合）たち間の任意のマップ（写像）に対して、コドメイン（余域）の任意のサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）の後のマップ（写像）コンポジション（合成）はアイデンティカル（恒等）である、もしも、当該マップ（写像）が引数サブセット（部分集合）に関してサージェクティブ（全射）である場合、という命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
S1′: ∈{ 全てのセット（集合）たち }
S2′: ∈{ 全てのセット（集合）たち }
f: :S1′→S2′
S2: ⊆S2′
//

ステートメント（言明）たち:
∀p∈S2(p∈f(S1′))
⟹
f∘f−1(S2)=S2
//

fがサージェクティブ（全射）である時は、当該条件は、S2′の任意のサブセット（部分集合）に対して満たされる。

2: 自然言語記述


任意のセット（集合）たちS1′,S2′、任意のマップ（写像）f:S1′→S2′、任意のサブセット（部分集合）S2⊆S2′に対して、もしも、fがS2に関してサージェクティブ（全射）である（それが意味するのは、S2上の任意のポイントはfのレンジ（値域）内にいるということ）場合、f∘f−1(S2)=S2。

fがサージェクション（全射）である時は、fはS2′の任意のサブセット（部分集合）に関してサージェクティブ（全射）である。

3: 証明


全体戦略: ステップ1: 一般にf∘f−1(S2)⊆S2であることを見る; ステップ2: ∀p∈S2(p∈f(S1′))であると仮定し、S2⊆f∘f−1(S2)であることを見る。

ステップ1:

f∘f−1(S2)⊆S2、任意のセット（集合）間マップ（写像）に対して、任意のプリイメージ（前像）の後のそのマップ（写像）によるコンポジション（合成）は引数セット（集合）の中に包含されているという命題によって。

したがって、それは、S2⊆f∘f−1(S2)という問題である。

ステップ2:

S2⊆f∘f−1(S2)であることを見よう。

∀p∈S2(p∈f(S1′))であると仮定しよう。

任意のp∈S2に対して、あるp′∈f−1(p)⊆f−1(S2)がある。p=f(p′)∈f∘f−1(p)⊆f∘f−1(S2)。

参考資料
<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>
投稿者 時刻:
ラベル: