\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）およびオープンサブセット（開部分集合）上方の\(C^\infty\)ローカルフレームに対して、オープンサブセット（開部分集合）の各ポイントの周りに、バンドル（束）に対するより小さいかもしれないチャートでフレームに関するコンポーネントたちを取るものがあることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ランク\(k\)の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）上のローカル\(C^\infty\)フレームの定義を知っている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意の\(C^\infty\)フレームは任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上方に、そしてその上方のみに存在するという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意のチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のトリビアライゼーションはカノニカル（正典）チャートマップ（写像）をインデュース（誘導）するという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）の任意のオープンサブセット（開部分集合）は\(C^\infty\)トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）および任意のオープンサブセット（開部分集合）上方の任意の\(C^\infty\)ローカルフレームに対して、当該オープンサブセット（開部分集合）の各ポイントの周りに、当該バンドル（束）に対するより小さいかもしれないチャートで当該フレームに関するコンポーネントたちを取るものがあるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\((E, M, \pi)\): \(\in \text{ ランク } k \{\text{ の全ての } C^\infty \text{ ベクトルたちバンドル（束）たち }\}\)
\(U\): \(\in \{M \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\)
\(\{s_1, ..., s_k\}\): \(\in U \{\text{ 上方の全ての } C^\infty \text{ ローカルフレームたち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall u \in U (\exists (U_u \subseteq M, \phi_u) \in \{\text{ 全てのチャートたち }\} \text{ で以下を満たすもの、つまり、 } U_u \subseteq U ((\pi^{-1} (U_u) \subseteq E, \widetilde{\phi_u}) \in \{\text{ 全てのチャートたち }\} \text{ 、ここで、 } \widetilde{\phi_u}: \pi^{-1} (U_u) \to \mathbb{R}^k \times \phi_u (U_u), b^j s_j (p) \mapsto (b^1, ..., b^k, \phi_u \circ \pi (p))))\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(U\)はトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）であることを見る; ステップ2: 各\(u \in U\)の周りに、以下を満たす任意のチャート\((U_u \subseteq M, \phi_u)\)、つまり、\(U_u \subseteq U\)、を取り、\(U_u\)はチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）であることを見る: ステップ3: \(U_u\)上方のトリビアライゼーションで任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意の\(C^\infty\)フレームは任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上方に、そしてその上方のみに存在するという命題内に引用されているものを取る; ステップ4: 任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意のチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のトリビアライゼーションはカノニカル（正典）チャートマップ（写像）をインデュース（誘導）するという命題による当該トリビアライゼーションによってカノニカル（正典）にインデュースト（誘導された）チャートを取る。
ステップ1:
\(U\)はトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）である、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意の\(C^\infty\)フレームは任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上方に、そしてその上方のみに存在するという命題によって。
ステップ2:
各\(u \in U\)の周りに、以下を満たす任意のチャート\((U_u \subseteq M, \phi_u)\)、つまり、\(U_u \subseteq U\)、を取る。
\(U_u\)はトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）である、任意の\(C^\infty\)トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）の任意のオープンサブセット（開部分集合）は\(C^\infty\)トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）であるという命題によって。
したがって、\(U_u\)はチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）である。
ステップ3:
\(U_u\)上方のトリビアライゼーションで任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意の\(C^\infty\)フレームは任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上方に、そしてその上方のみに存在するという命題内に引用されているもの\(\Phi: \pi^{-1} (U_u) \to U_u \times \mathbb{R}^k\)を\(b^j s_j (p) \mapsto (p, b^1, b^2, ..., b^k)\)として取ろう。
ステップ4:
任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意のチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のトリビアライゼーションはカノニカル（正典）チャートマップ（写像）をインデュース（誘導）するという命題による当該トリビアライゼーションによってカノニカル（正典）にインデュースト（誘導された）チャート\(\widetilde{\phi_u}\): \(: \pi^{-1} (U_u) \to U_u \times \mathbb{R}^k \to \mathbb{R}^{d + k} \text{ または } \mathbb{H}^{d + k}, v \mapsto (\pi_2 (\Phi_u (v)), \phi_u (\pi (v)))\)、を取ろう、それは、本命題によって主張されているチャートに他ならない。
