マップ（写像）に対して、サブセット（部分集合）マイナスサブセット（部分集合）のイメージ（像）は必ずしも第1サブセット（部分集合）のイメージ（像）マイナス第2サブセット（部分集合）のイメージ（像）ではないことの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）マイナス任意のサブセット（部分集合）のイメージ（像）は必ずしも第1サブセット（部分集合）のイメージ（像）マイナス第2サブセット（部分集合）のイメージ（像）ではないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S_1\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(S_2\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(f\): \(S_1 \to S_2\)
\(S_{1, 1}\): \(\subseteq S_1\)
\(S_{1, 2}\): \(\subseteq S_1\)
//
ステートメント（言明）たち:
必ずしも、\(f (S_{1, 1} \setminus S_{1, 2}) = f (S_{1, 1}) \setminus f (S_{1, 2})\)ではない
//
2: 自然言語記述
任意のセット（集合）たち\(S_1, S_2\)、任意のマップ（写像）\(f: S_1 \to S_2\)、任意のサブセット（部分集合）たち\(S_{1, 1}, S_{1, 2} \subseteq S_1\)に対して、必ずしも、\(f (S_{1, 1} \setminus S_{1, 2}) = f (S_{1, 1}) \setminus f (S_{1, 2})\)ではない。
3: 証明
1つの反例で十分である。\(S_1 = \{0, 1\}\)、\(S_2 = \{0, 1\}\)、\(f: 0 \mapsto 0, 1 \mapsto 0\)、\(S_{1, 1} = \{0, 1\}\)、\(S_{1, 2} = \{1\}\)としよう。すると、\(f (S_{1, 1} \setminus S_{1, 2}) = f (\{0\}) = \{0\} \neq \emptyset = \{0\} \setminus \{0\} = f (S_{1, 1}) \setminus f (S_{1, 2})\)。一見すると、\(f\)の非インジェクティブ（単射）性が、等号が成立することを妨げているようだ。
4: 注
これを、プリイメージ（前像）たちについての命題と比較のこと。
\(f (S_{1, 1}) \setminus f (S_{1, 2}) \subseteq f (S_{1, 1} \setminus S_{1, 2})\)、任意のマップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）マイナス任意のサブセット（部分集合）のイメージ（像）は第1サブセット（部分集合）のイメージ（像）マイナス第2サブセット（部分集合）のイメージ（像）を包含するという命題によって。
等号は、\(f\)がインジェクティブ（単射）である時は成立する、任意のインジェクティブ（単射）マップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）マイナス任意のサブセット（部分集合）のイメージ（像）は第1サブセット（部分集合）のイメージ（像）マイナス第2サブセット（部分集合）のイメージ（像）であるという命題によって。
