893: マップ（写像）に対して、サブセット（部分集合）マイナスサブセット（部分集合）のイメージ（像）は必ずしも第1サブセット（部分集合）のイメージ（像）マイナス第2サブセット（部分集合）のイメージ（像）ではない

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マップ（写像）に対して、サブセット（部分集合）マイナスサブセット（部分集合）のイメージ（像）は必ずしも第1サブセット（部分集合）のイメージ（像）マイナス第2サブセット（部分集合）のイメージ（像）ではないことの記述/証明

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明
• 4: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）マイナス任意のサブセット（部分集合）のイメージ（像）は必ずしも第1サブセット（部分集合）のイメージ（像）マイナス第2サブセット（部分集合）のイメージ（像）ではないという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$S_1$: $\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}$
$S_2$: $\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}$
$f$: $S_1\to S_2$
$S_{1,1}$: $\subseteq S_1$
$S_{1,2}$: $\subseteq S_1$
//

ステートメント（言明）たち:
必ずしも、$f(S_{1,1}\setminus S_{1,2})=f(S_{1,1})\setminus f(S_{1,2})$ではない
//

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2: 自然言語記述

任意のセット（集合）たち$S_1,S_2$、任意のマップ（写像）$f:S_1\to S_2$、任意のサブセット（部分集合）たち$S_{1,1},S_{1,2}\subseteq S_1$に対して、必ずしも、$f(S_{1,1}\setminus S_{1,2})=f(S_{1,1})\setminus f(S_{1,2})$ではない。

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3: 証明

1つの反例で十分である。$S_1=\{0,1\}$、$S_2=\{0,1\}$、$f:0\mapsto 0,1\mapsto 0$、$S_{1,1}=\{0,1\}$、$S_{1,2}=\{1\}$としよう。すると、$f(S_{1,1}\setminus S_{1,2})=f(\{0\})=\{0\}\ne \mathrm{\varnothing }=\{0\}\setminus \{0\}=f(S_{1,1})\setminus f(S_{1,2})$。一見すると、$f$の非インジェクティブ（単射）性が、等号が成立することを妨げているようだ。

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4: 注

これを、プリイメージ（前像）たちについての命題と比較のこと。

$f(S_{1,1})\setminus f(S_{1,2})\subseteq f(S_{1,1}\setminus S_{1,2})$、任意のマップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）マイナス任意のサブセット（部分集合）のイメージ（像）は第1サブセット（部分集合）のイメージ（像）マイナス第2サブセット（部分集合）のイメージ（像）を包含するという命題によって。

等号は、$f$がインジェクティブ（単射）である時は成立する、任意のインジェクティブ（単射）マップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）マイナス任意のサブセット（部分集合）のイメージ（像）は第1サブセット（部分集合）のイメージ（像）マイナス第2サブセット（部分集合）のイメージ（像）であるという命題によって。

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参考資料

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