885: コミュータティブ（可換）リング（環）上方の2つのスクウェアマトリックス（正方行列）たちに対して、マトリックス（行列）たちのプロダクト（積）のトレース（跡）はプロダクト（積）の順序に依存しない

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

コミュータティブ（可換）リング（環）上方の2つのスクウェアマトリックス（正方行列）たちに対して、マトリックス（行列）たちのプロダクト（積）のトレース（跡）はプロダクト（積）の順序に依存しないことの記述/証明

---

話題

About: リング（環）

---

この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注
• 3: 証明

---

開始コンテキスト

• 読者は、リング（環）の定義を知っている。
• 読者は、リング（環）上方のマトリックス（行列）の定義を知っている。
• 読者は、リング（環）上方のマトリックス（行列）のトレース（跡）の定義を知っている。

---

ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のコミュータティブ（可換）リング（環）上方の任意の2つの同一ディメンショナル（次元）スクウェアマトリックス（正方行列）たちに対して、当該マトリックス（行列）たちの各プロダクト（積）のトレース（跡）はプロダクト（積）の順序に依存しないという命題の記述および証明を得る。

---

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

---

本体

---

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$R$: $\in \{\text{ 全てのコミュータティブ（可換）リング（環）たち }\}$
$A$: $\in \{R\text{ 上方の全てのn }\times \text{ n マトリックス（行列）たち }\}$, $=\left(\begin{array}{c}{a}_k^j\end{array}\right)$
$B$: $\in \{R\text{ 上方の全ての n }\times \text{ n マトリックス（行列）たち }\}$, $=\left(\begin{array}{c}{b}_k^j\end{array}\right)$
//

ステートメント（言明）たち:
$tr(AB)=tr(BA)$
//

---

2: 注

典型的には、$R$はフィールド（体）であり、もっと典型的には、$R$は$\mathbb{R}$または$\mathbb{C}$である、しかし、本命題は、$R$は任意のコミュータティブ（可換）リング（環）であることのみを求める。

即座の系として、2つより多くの同一ディメンショナル（次元）スクウェアマトリックス（正方行列）たちに対して、任意のプロダクト（積）の順序はシクリック（循環的）に変えることができる、トレース（跡）を変えることなく: $tr(A_1...A_k)=tr(A_1(A_2...A_k))=tr((A_2...A_k)A_1)=tr(A_2...A_k{A}_1)$、等々。

---

3: 証明

全体戦略: ステップ1: $tr(AB)$および$tr(BA)$を$A$および$B$のコンポーネントたちで表現し、それらが同じであることを見る。

ステップ1:

$AB=\left(\begin{array}{c}\sum _{l\in \{1,...,n\}}{a}_l^j{b}_k^l\end{array}\right)$。

$tr(AB)=\sum _{j\in \{1,...,n\}}\sum _{l\in \{1,...,n\}}{a}_l^j{b}_j^l$。

$BA=\left(\begin{array}{c}\sum _{l\in \{1,...,n\}}{b}_l^j{a}_k^l\end{array}\right)$。

$tr(BA)=\sum _{j\in \{1,...,n\}}\sum _{l\in \{1,...,n\}}{b}_l^j{a}_j^l=\sum _{j\in \{1,...,n\}}\sum _{l\in \{1,...,n\}}{a}_j^l{b}_l^j=\sum _{l\in \{1,...,n\}}\sum _{j\in \{1,...,n\}}{a}_j^l{b}_l^j=\sum _{j\in \{1,...,n\}}\sum _{l\in \{1,...,n\}}{a}_l^j{b}_j^l$、ここで、最後のイコールの理由は、任意のダミーインデックスの名前は恣意的に変えることができるということ、$=tr(AB)$。

---

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>