886: ベクトルたちスペース（空間）エンドモーフィズム（自己準同形写像）のトレース（跡）

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ベクトルたちスペース（空間）エンドモーフィズム（自己準同形写像）のトレース（跡）の定義

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、%ストラクチャー（構造）種類名%エンドモーフィズム（自己準同形写像）の定義を知っている。
• 読者は、リング（環）上方のスクウェアマトリックス（正方行列）のトレース（跡）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、ベクトルたちスペース（空間）エンドモーフィズム（自己準同形写像）のトレース（跡）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$V$: $\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元） }F\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$f$: $:V\to V$, $\in \{\text{ 全ての }F\text{ ベクトルたちスペース（空間）エンドモーフィズム（自己準同形写像）たち }\}$
$B$: $\in \{V\text{ の全てのベーシス（基底）たち }\}$
$M_{f,B}$: $=f\text{ に対する }B\text{ に関するマトリックス（行列） }$
$\ast tr(f)$: $=tr(M_{f,B})$
//

コンディションたち:
//

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2: 注

要点は、$tr(f)$は$B$の選択に依存しないということ、それが、本命題がウェルデファインド（妥当に定義されている）である理由である: 任意のベクトル$v\in V$に対して、$v$の$B$に関するコンポーネントたち表現を$\tilde{v}$とすると、$v$の別のベーシス（基底）$B^{\prime }$に関するコンポーネントたち表現は$U\tilde{v}$、ここで、$U$はあるインバーティブル（可逆）マトリックス（行列）、である; $f(v)$の$B^{\prime }$に関するコンポーネントたち表現は$U{M}_{f,B}\tilde{v}=U{M}_{f,B}{U}^{-1}U\tilde{v}$である、それが意味するのは、$f$に対する$B^{\prime }$に関するマトリックス（行列）は$M_{f,B^{\prime }}:=U{M}_{f,B}{U}^{-1}$であるということ; すると、$tr(M_{f,B^{\prime }})=tr(U{M}_{f,B}{U}^{-1})=tr(U^{-1}U{M}_{f,B})$、任意のコミュータティブ（可換）リング（環）上方の任意の2つの同一ディメンショナル（次元）スクウェアマトリックス（正方行列）たちに対して、当該マトリックス（行列）たちの各プロダクト（積）のトレース（跡）はプロダクト（積）の順序に依存しないという命題によって、$=tr(M_{f,B})$。

したがって、任意のベクトルたちスペース（空間）エンドモーフィズム（自己準同形写像）のトレース（跡）について話すことは意味をなしている、何らのベーシス（基底）も指定することなく。

本定義が意味をなす理由は、$f$はエンドモーフィズム（自己準同形写像）であることである、単なる、2つの異なるベクトルたちスペース（空間）たち間のリニアマップ（線形写像）ではなく: 2つの異なるベクトルたちスペース（空間）たち間ケースに対しては、コドメイン（余域）のベーシス（基底）はドメイン（定義域）のベーシス（基底）とは不可避に異なる（実際、2つの異なるベクトルたちスペース（空間）たち内の2つの要素たち間にカノニカル（正典）同一性はない）、そして、コドメイン（余域）のベーシス（基底）を変えることによって、対応するマトリックス（行列）のトレース（跡）は変化し得る: 例えば、コドメイン（余域）ベーシス（基底）の全ての要素たちを半分長にする、すると、マトリックス（行列）は2倍になり、トレース（跡）は2倍になる。

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参考資料

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