ベクトルたちスペース（空間）エンドモーフィズム（自己準同形写像）のトレース（跡）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、%ストラクチャー（構造）種類名%エンドモーフィズム（自己準同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、リング（環）上方のスクウェアマトリックス（正方行列）のトレース（跡）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）エンドモーフィズム（自己準同形写像）のトレース（跡）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\( V\): \(\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\( f\): \(: V \to V\), \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）エンドモーフィズム（自己準同形写像）たち }\}\)
\( B\): \(\in \{V \text{ の全てのベーシス（基底）たち }\}\)
\( M_{f, B}\): \(= f \text{ に対する } B \text{ に関するマトリックス（行列） }\)
\(*tr (f)\): \(= tr (M_{f, B})\)
//
コンディションたち:
//
2: 注
要点は、\(tr (f)\)は\(B\)の選択に依存しないということ、それが、本命題がウェルデファインド（妥当に定義されている）である理由である: 任意のベクトル\(v \in V\)に対して、\(v\)の\(B\)に関するコンポーネントたち表現を\(\widetilde{v}\)とすると、\(v\)の別のベーシス（基底）\(B'\)に関するコンポーネントたち表現は\(U \widetilde{v}\)、ここで、\(U\)はあるインバーティブル（可逆）マトリックス（行列）、である; \(f (v)\)の\(B'\)に関するコンポーネントたち表現は\(U M_{f, B} \widetilde{v} = U M_{f, B} U^{-1} U \widetilde{v}\)である、それが意味するのは、\(f\)に対する\(B'\)に関するマトリックス（行列）は\(M_{f, B'} := U M_{f, B} U^{-1}\)であるということ; すると、\(tr (M_{f, B'}) = tr (U M_{f, B} U^{-1}) = tr (U^{-1} U M_{f, B})\)、任意のコミュータティブ（可換）リング（環）上方の任意の2つの同一ディメンショナル（次元）スクウェアマトリックス（正方行列）たちに対して、当該マトリックス（行列）たちの各プロダクト（積）のトレース（跡）はプロダクト（積）の順序に依存しないという命題によって、\(= tr (M_{f, B})\)。
したがって、任意のベクトルたちスペース（空間）エンドモーフィズム（自己準同形写像）のトレース（跡）について話すことは意味をなしている、何らのベーシス（基底）も指定することなく。
本定義が意味をなす理由は、\(f\)はエンドモーフィズム（自己準同形写像）であることである、単なる、2つの異なるベクトルたちスペース（空間）たち間のリニアマップ（線形写像）ではなく: 2つの異なるベクトルたちスペース（空間）たち間ケースに対しては、コドメイン（余域）のベーシス（基底）はドメイン（定義域）のベーシス（基底）とは不可避に異なる（実際、2つの異なるベクトルたちスペース（空間）たち内の2つの要素たち間にカノニカル（正典）同一性はない）、そして、コドメイン（余域）のベーシス（基底）を変えることによって、対応するマトリックス（行列）のトレース（跡）は変化し得る: 例えば、コドメイン（余域）ベーシス（基底）の全ての要素たちを半分長にする、すると、マトリックス（行列）は2倍になり、トレース（跡）は2倍になる。
