895: インジェクティブ（単射）マップ（写像）に対して、サブセット（部分集合）マイナスサブセット（部分集合）のイメージ（像）は第1サブセット（部分集合）のイメージ（像）マイナス第2サブセット（部分集合）のイメージ（像）である

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インジェクティブ（単射）マップ（写像）に対して、サブセット（部分集合）マイナスサブセット（部分集合）のイメージ（像）は第1サブセット（部分集合）のイメージ（像）マイナス第2サブセット（部分集合）のイメージ（像）であることの記述/証明

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）マイナス任意のサブセット（部分集合）のイメージ（像）は第1サブセット（部分集合）のイメージ（像）マイナス第2サブセット（部分集合）のイメージ（像）を包含するという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のインジェクティブ（単射）マップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）マイナス任意のサブセット（部分集合）のイメージ（像）は第1サブセット（部分集合）のイメージ（像）マイナス第2サブセット（部分集合）のイメージ（像）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$S_1$: $\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}$
$S_2$: $\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}$
$f$: $S_1\to S_2$, $\in \{\text{ 全てのインジェクション（単射）たち }\}$
$S_{1,1}$: $\subseteq S_1$
$S_{1,2}$: $\subseteq S_1$
//

ステートメント（言明）たち:
$f(S_{1,1}\setminus S_{1,2})=f(S_{1,1})\setminus f(S_{1,2})$
//

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2: 自然言語記述

任意のセット（集合）たち$S_1,S_2$、任意のインジェクション（単射）$f:S_1\to S_2$、任意のサブセット（部分集合）たち$S_{1,1},S_{1,2}\subseteq S_1$に対して、$f(S_{1,1}\setminus S_{1,2})=f(S_{1,1})\setminus f(S_{1,2})$。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $f(S_{1,1})\setminus f(S_{1,2})\subseteq f(S_{1,1}\setminus S_{1,2})$であることを見る; ステップ2: $f(S_{1,1}\setminus S_{1,2})\subseteq f(S_{1,1})\setminus f(S_{1,2})$であることを見る。

ステップ1:

$f(S_{1,1})\setminus f(S_{1,2})\subseteq f(S_{1,1}\setminus S_{1,2})$、任意のマップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）マイナス任意のサブセット（部分集合）のイメージ（像）は第1サブセット（部分集合）のイメージ（像）マイナス第2サブセット（部分集合）のイメージ（像）を包含するという命題によって。

ステップ2:

$f(S_{1,1}\setminus S_{1,2})\subseteq f(S_{1,1})\setminus f(S_{1,2})$であることを見よう。

各$p\in f(S_{1,1}\setminus S_{1,2})$に対して、以下を満たすある$p^{\prime }\in S_{1,1}\setminus S_{1,2}$、つまり、$p=f(p^{\prime })$、がある。$f(p^{\prime })\in f(S_{1,1})$。$p^{\prime }\notin S_{1,2}$。$f(p^{\prime })\notin f(S_{1,2})$、なぜなら、もしも、$f(p^{\prime })\in f(S_{1,2})$である場合、$f(p^{\prime })=f(p^{″})$、ある$p^{″}\in S_{1,2}$に対して、しかし、$p^{\prime }\ne p^{″}$、なぜなら、$p^{\prime }\notin S_{1,2}$および$p^{″}\in S_{1,2}$、$f$がインジェクティブ（単射）であることに反する矛盾。したがって、$p=f(p^{\prime })\in f(S_{1,1})\setminus f(S_{1,2})$。

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参考資料

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