サブセット（部分集合）マイナスサブセット（部分集合）のマップ（写像）プリイメージ（前像）は第1サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）マイナス第2サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）マイナス任意のサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）は第1サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）マイナス第2サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S_1\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(S_2\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(f\): \(S_1 \to S_2\)
\(S_{2, 1}\): \(\subseteq S_2\)
\(S_{2, 2}\): \(\subseteq S_2\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f^{-1} (S_{2, 1} \setminus S_{2, 2}) = f^{-1} (S_{2, 1}) \setminus f^{-1} (S_{2, 2})\)
//
2: 自然言語記述
任意のセット（集合）たち\(S_1, S_2\)、任意のマップ（写像）\(f: S_1 \to S_2\)、任意のサブセット（部分集合）たち\(S_{2, 1}, S_{2, 2} \subseteq S_2\)に対して、\(f^{-1} (S_{2, 1} \setminus S_{2, 2}) = f^{-1} (S_{2, 1}) \setminus f^{-1} (S_{2, 2})\)。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f^{-1} (S_{2, 1} \setminus S_{2, 2}) \subseteq f^{-1} (S_{2, 1}) \setminus f^{-1} (S_{2, 2})\)であることを見る; ステップ2: \(f^{-1} (S_{2, 1}) \setminus f^{-1} (S_{2, 2}) \subseteq f^{-1} (S_{2, 1} \setminus S_{2, 2})\)であることを見る。
ステップ1:
各ポイント\(p \in f^{-1} (S_{2, 1} \setminus S_{2, 2})\)に対して、\(f (p) \in S_{2, 1} \setminus S_{2, 2}\)、\(f (p) \in S_{2, 1}\)および\(f (p) \notin S_{2, 2}\)、\(p \in f^{-1} (S_{2, 1})\)および\(p \notin f^{-1} (S_{2, 2})\)、したがって、\(p \in f^{-1} (S_{2, 1}) \setminus f^{-1} (S_{2, 2})\)。
ステップ2:
各ポイント\(p \in f^{-1} (S_{2, 1}) \setminus f^{-1} (S_{2, 2})\)に対して、\(p \in f^{-1} (S_{2, 1})\)および\(p \notin f^{-1} (S_{2, 2})\)、\(f (p) \in S_{2, 1}\)および\(f (p) \notin S_{2, 2}\)、\(f (p) \in S_{2, 1} \setminus S_{2, 2}\)、したがって、\(p \in f^{-1} (S_{2, 1} \setminus S_{2, 2})\)。
4: 注
イメージ（像）たちに関する命題と比較のこと。
