897: マップ（写像）、ドメイン（定義域）のサブセット（部分集合）、コドメイン（余域）のサブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）のイメージ（像）はサブセット（部分集合）内に包含されサブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）のイメージ（像）はサブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）内に包含される、もしも、サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）がサブセット（部分集合）でありサブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）のプリイメージ（前像）がサブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）である場合、そしてその場合に限って

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マップ（写像）、ドメイン（定義域）のサブセット（部分集合）、コドメイン（余域）のサブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）のイメージ（像）はサブセット（部分集合）内に包含されサブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）のイメージ（像）はサブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）内に包含される、もしも、サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）がサブセット（部分集合）でありサブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）のプリイメージ（前像）がサブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のマップ（写像）、ドメイン（定義域）の任意のサブセット（部分集合）、コドメイン（余域）の任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）のイメージ（像）は当該サブセット（部分集合）内に包含され当該サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）のイメージ（像）は当該サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）内に包含される、もしも、当該サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）が当該サブセット（部分集合）であり当該サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）のプリイメージ（前像）が当該サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$S_1^{\prime }$: $\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}$
$S_2^{\prime }$: $\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}$
$f$: $S_1^{\prime }\to S_2^{\prime }$
$S_1$: $\subseteq S_1^{\prime }$
$S_2$: $\subseteq S_2^{\prime }$
//

ステートメント（言明）たち:
(
$f(S_1)\subseteq S_2$
$\wedge$
$f(S_1^{\prime }\setminus S_1)\subseteq S_2^{\prime }\setminus S_2$
)
$⟺$
(
$S_1=f^{-1}(S_2)$
$\wedge$
$S_1^{\prime }\setminus S_1=f^{-1}(S_2^{\prime }\setminus S_2)$
).
//

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2: 自然言語記述

任意のセット（集合）たち$S_1^{\prime },S_2^{\prime }$、任意のマップ（写像）$f:S_1^{\prime }\to S_2^{\prime }$、任意のサブセット（部分集合）たち$S_1\subseteq S_1^{\prime },S_2\subseteq S_2^{\prime }$に対して、$f(S_1)\subseteq S_2$および$f(S_1^{\prime }\setminus S_1)\subseteq S_2^{\prime }\setminus S_2$、もしも、$S_1=f^{-1}(S_2)$および$S_1^{\prime }\setminus S_1=f^{-1}(S_2^{\prime }\setminus S_2)$である場合、そしてその場合に限って。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $f(S_1)\subseteq S_2$および$f(S_1^{\prime }\setminus S_1)\subseteq S_2^{\prime }\setminus S_2$と仮定し、$S_1=f^{-1}(S_2)$および$S_1^{\prime }\setminus S_1=f^{-1}(S_2^{\prime }\setminus S_2)$であることを見る; ステップ2: $S_1=f^{-1}(S_2)$および$S_1^{\prime }\setminus S_1=f^{-1}(S_2^{\prime }\setminus S_2)$と仮定し、$f(S_1)\subseteq S_2$および$f(S_1^{\prime }\setminus S_1)\subseteq S_2^{\prime }\setminus S_2$であることを見る。

ステップ1:

$f(S_1)\subseteq S_2$および$f(S_1^{\prime }\setminus S_1)\subseteq S_2^{\prime }\setminus S_2$であると仮定する。

$S_1\subseteq f^{-1}(S_2)$は即座である。

$f^{-1}(S_2)\subseteq S_1$であることを証明しよう。任意の$p\in f^{-1}(S_2)$に対して、$f(p)\in S_2$、$f(p)\notin S_2^{\prime }\setminus S_2$、$f(p)\notin f(S_1^{\prime }\setminus S_1)$、$p\notin S_1^{\prime }\setminus S_1$、したがって、$p\in S_1$ as $p\in S_1^{\prime }$。

$S_1^{\prime }\setminus S_1\subseteq f^{-1}(S_2^{\prime }\setminus S_2)$は即座である。

$f^{-1}(S_2^{\prime }\setminus S_2)\subseteq S_1^{\prime }\setminus S_1$であることを証明しよう。任意の$p\in f^{-1}(S_2^{\prime }\setminus S_2)$に対して、$f(p)\in S_2^{\prime }\setminus S_2$、$f(p)\notin S_2$、$f(p)\in S_2^{\prime }$であるから、$p\notin S_1$、したがって、$p\in S_1^{\prime }\setminus S_1$、$p\in S_1^{\prime }$であるから。

ステップ2:

$S_1=f^{-1}(S_2)$および$S_1^{\prime }\setminus S_1=f^{-1}(S_2^{\prime }\setminus S_2)$であると仮定しよう。

$f(S_1)\subseteq S_2$および$f(S_1^{\prime }\setminus S_1)\subseteq S_2^{\prime }\setminus S_2$は即座である。

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参考資料

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