2024年12月15日日曜日

898: サージェクション（全射）に対して、サブセット（部分集合）たちのプリイメージ（前像）たちは同じである、もしも、サブセット（部分集合）たちが同じである場合、そしてその場合に限って

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>
サージェクション（全射）に対して、サブセット（部分集合）たちのプリイメージ（前像）たちは同じである、もしも、サブセット（部分集合）たちが同じである場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明

話題


About: セット（集合）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のサージェクション（全射）に対して、コドメイン（余域）の任意のサブセット（部分集合）たちのプリイメージ（前像）たちは同じである、もしも、当該サブセット（部分集合）たちが同じである場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
S1: ∈{ 全てのセット（集合）たち }
S2: ∈{ 全てのセット（集合）たち }
f: S1→S2, ∈{ 全てのサージェクション（全射）たち }
S2,1: ⊆S2
S2,2: ⊆S2
//

ステートメント（言明）たち:
f−1(S2,1)=f−1(S2,2)
⟺
S2,1=S2,2
//

2: 自然言語記述


任意のセット（集合）たちS1,S2、任意のサージェクション（全射）f:S1→S2、任意のサブセット（部分集合）たちS2,1,S2,2⊆S2に対して、f−1(S2,1)=f−1(S2,2)、もしも、S2,1=S2,2である場合、そしてその場合に限って。

3: 証明


全体戦略: ステップ1: f−1(s2,1)=f−1(s2,2)であると仮定し、S2,1=S2,2であることを見る; ステップ2: S2,1=S2,2であると仮定し、f−1(s2,1)=f−1(s2,2)であることを見る。

ステップ1:

f−1(S2,1)=f−1(S2,2)であると仮定しよう。

f∘f−1(S2,1)=f∘f−1(S2,2)。しかし、f∘f−1(S2,1)=S2,1およびf∘f−1(S2,2)=S2,2、任意のセット（集合）たち間の任意のマップ（写像）に対して、コドメイン（余域）の任意のサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）の後のマップ（写像）コンポジション（合成）はアイデンティカル（恒等）である、もしも、当該マップ（写像）が引数サブセット（部分集合）に関してサージェクティブ（全射）である場合、という命題によって。したがって、S2,1=S2,2。

ステップ2:

S2,1=S2,2であると仮定しよう。

f−1(S2,1)=f−1(S2,2)は即座である。

参考資料
<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>
投稿者 時刻:
ラベル: