サージェクション（全射）に対して、サブセット（部分集合）たちのプリイメージ（前像）たちは同じである、もしも、サブセット（部分集合）たちが同じである場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のサージェクション（全射）に対して、コドメイン（余域）の任意のサブセット（部分集合）たちのプリイメージ（前像）たちは同じである、もしも、当該サブセット（部分集合）たちが同じである場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S_1\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(S_2\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(f\): \(S_1 \to S_2\), \(\in \{\text{ 全てのサージェクション（全射）たち }\}\)
\(S_{2, 1}\): \(\subseteq S_2\)
\(S_{2, 2}\): \(\subseteq S_2\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f^{-1} (S_{2, 1}) = f^{-1} (S_{2, 2})\)
\(\iff\)
\(S_{2, 1} = S_{2, 2}\)
//
2: 自然言語記述
任意のセット（集合）たち\(S_1, S_2\)、任意のサージェクション（全射）\(f: S_1 \to S_2\)、任意のサブセット（部分集合）たち\(S_{2, 1}, S_{2, 2} \subseteq S_2\)に対して、\(f^{-1} (S_{2, 1}) = f^{-1} (S_{2, 2})\)、もしも、\(S_{2, 1} = S_{2, 2}\)である場合、そしてその場合に限って。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f^{-1} (s_{2, 1}) = f^{-1} (s_{2, 2})\)であると仮定し、\(S_{2, 1} = S_{2, 2}\)であることを見る; ステップ2: \(S_{2, 1} = S_{2, 2}\)であると仮定し、\(f^{-1} (s_{2, 1}) = f^{-1} (s_{2, 2})\)であることを見る。
ステップ1:
\(f^{-1} (S_{2, 1}) = f^{-1} (S_{2, 2})\)であると仮定しよう。
\(f \circ f^{-1} (S_{2, 1}) = f \circ f^{-1} (S_{2, 2})\)。しかし、\(f \circ f^{-1} (S_{2, 1}) = S_{2, 1}\)および\(f \circ f^{-1} (S_{2, 2}) = S_{2, 2}\)、任意のセット（集合）たち間の任意のマップ（写像）に対して、コドメイン（余域）の任意のサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）の後のマップ（写像）コンポジション（合成）はアイデンティカル（恒等）である、もしも、当該マップ（写像）が引数サブセット（部分集合）に関してサージェクティブ（全射）である場合、という命題によって。したがって、\(S_{2, 1} = S_{2, 2}\)。
ステップ2:
\(S_{2, 1} = S_{2, 2}\)であると仮定しよう。
\(f^{-1} (S_{2, 1}) = f^{-1} (S_{2, 2})\)は即座である。
