899: トポロジカルスペース（空間）たち間のコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちのセット（集合）上において、ホモトピックであることはイクイバレンスリレーション（同値関係）である

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トポロジカルスペース（空間）たち間のコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちのセット（集合）上において、ホモトピックであることはイクイバレンスリレーション（同値関係）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ホモトピックマップ（写像）たちの定義を知っている。
• 読者は、セット（集合）上のイクイバレンスリレーション（同値関係）の定義を知っている。
• 読者は、任意の有限個のコンティヌアス（連続）マップ（写像）たちのプロダクトマップ（写像）は、プロダクトトポロジーによってコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、ある有限数クローズドカバー（閉被覆）の各クローズドセット（閉集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちのセット（集合）上において、ホモトピックであることはイクイバレンスリレーション（同値関係）であるという命題を認めている。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$T_1$: $\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$T_2$: $\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$S$: $=\{f:T_1\to T_2:f\in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\}$
$\sim$: $\subseteq S\times S$, $\in \{\text{ 全てのリレーション（関係）たち }\}$で、以下を満たすもの、つまり、$\mathrm{\forall }{f}_1,f_2\in S(f_1\sim f_2⟺f_1\simeq f_2)$、ここで、$\simeq$はホモトピックであることを意味する
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ステートメント（言明）たち:
$\sim \in \{\text{ 全てのイクイバレンスリレーション（同値関係）たち }\}$
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2: 証明

全体戦略: ステップ1: $\sim$は、イクイバレンスリレーション（同値関係）であるための3要件たちを満たすことを見る。

ステップ1:

1) $\mathrm{\forall }f\in S(f\sim f)$: リフレクシビティ（反射性）: $F:T_1\times I\to T_2,(t,r)\mapsto f(t)$としよう、それはコンティニュアス（連続）である、なぜなら、$f$はコンティニュアス（連続）であるから、$f(t)$の各オープンネイバーフッド（開近傍）$U_{f(t)}\subseteq T_2$に対して、$t$の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_t\subseteq T_1$、つまり、$f(U_t)\subseteq U_{f(t)}$、があり、$U_t\times I\subseteq T_1\times I$は$(t,r)$のオープンネイバーフッド（開近傍）であり、$F(U_t\times I)\subseteq U_{f(t)}$; $F(t,0)=f(t)$および$F(t,1)=f(t)$。

2) $\mathrm{\forall }{f}_1,f_2\in S(f_1\sim f_2⟹f_2\sim f_1)$: シンメトリー（対称性）: 以下を満たすあるコンティニュアス（連続）$F:T_1\times I\to T_2$、つまり、$F(t,0)=f_1(t)$および$F(t,1)=f_2(t)$、がある; $F^{\prime }:T_1\times I\to T_2,(t,r)\mapsto F(t,1-r)$としよう、それはコンティニュアス（連続）である、なぜなら、$F^{\prime }=F\circ (id,g)$、ここで、$g:I\to I,r\mapsto 1-r$で、$id$および$g$は明らかにコンティニュアス（連続）であり、$(id,g)$はコンティニュアス（連続）である、任意の有限個のコンティヌアス（連続）マップ（写像）たちのプロダクトマップ（写像）は、プロダクトトポロジーによってコンティヌアス（連続）であるという命題によって、そして、当該コンポジション（合成）はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題によって; $F^{\prime }(t,0)=F(t,1)=f_2(t)$および$F^{\prime }(t,1)=F(t,0)=f_1(t)$。

3) $\mathrm{\forall }{f}_1,f_2,f_3\in S((f_1\sim f_2\wedge f_2\sim f_3)⟹f_1\sim f_3)$: トランジティビティ（推移性）: 以下を満たすあるコンティニュアス（連続）な$F_1:T_1\times I\to T_2$、つまり、$F_1(t,0)=f_1(t)$、および$F_1(t,1)=f_2(t)$および以下を満たすあるコンティニュアス（連続）な$F_2:T_1\times I\to T_2$、つまり、$F_2(t,0)=f_2(t)$および$F_2(t,1)=f_3(t)$、がある; $F_3:T_1\times I\to T_2$を、$T_1\times [0,1/2]$上では$=F_1(t,2r)$、$T_1\times [1/2,1]$上では$=F_2(t,2(r-1/2))$であると定義しよう、それはウェルデファインド（妥当に定義された）である、なぜなら、$\{T_1\times [0,1/2],T_1\times [1/2,1]\}$は$T_1\times I$のクローズドカバー（閉被覆）であり、$F_3$は首尾一貫している、なぜなら、$F_3(t,1/2)=F_1(t,1)=f_2(t)=F_2(t,0)$、そして、$F_3$は$T_1\times [0,1/2]$および$T_1\times [1/2,1]$上でコンティニュアス（連続）である、なぜなら、$F_1(t,2r)=F_1\circ (id,g)$、ここで、$g:[0,1/2]\to [0,1],r\mapsto 2r$、そして、$F_2(t,2(r-1/2))=F_2\circ (id,h)$、ここで、$h:[1/2,1]\to [0,1],r\to 2(r-1/2)$、そして、$F_3$はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、ある有限数クローズドカバー（閉被覆）の各クローズドセット（閉集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題によって; $F_3(t,0)=F_1(t,0)=f_1(t)$および$F_3(t,1)=F_2(t,1)=f_3(t)$。

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参考資料

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