トポロジカルスペース（空間）たち間のコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちのセット（集合）上において、ホモトピックであることはイクイバレンスリレーション（同値関係）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ホモトピックマップ（写像）たちの定義を知っている。
- 読者は、セット（集合）上のイクイバレンスリレーション（同値関係）の定義を知っている。
- 読者は、任意の有限個のコンティヌアス（連続）マップ（写像）たちのプロダクトマップ（写像）は、プロダクトトポロジーによってコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、ある有限数クローズドカバー（閉被覆）の各クローズドセット（閉集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちのセット（集合）上において、ホモトピックであることはイクイバレンスリレーション（同値関係）であるという命題を認めている。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T_1\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(S\): \(= \{f: T_1 \to T_2: f \in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\}\)
\(\sim\): \(\subseteq S \times S\), \(\in \{\text{ 全てのリレーション（関係）たち }\}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(\forall f_1, f_2 \in S (f_1 \sim f_2 \iff f_1 \simeq f_2)\)、ここで、\(\simeq\)はホモトピックであることを意味する
//
ステートメント（言明）たち:
\(\sim \in \{\text{ 全てのイクイバレンスリレーション（同値関係）たち }\}\)
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2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\sim\)は、イクイバレンスリレーション（同値関係）であるための3要件たちを満たすことを見る。
ステップ1:
1) \(\forall f \in S (f \sim f)\): リフレクシビティ（反射性）: \(F: T_1 \times I \to T_2, (t, r) \mapsto f (t)\)としよう、それはコンティニュアス（連続）である、なぜなら、\(f\)はコンティニュアス（連続）であるから、\(f (t)\)の各オープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{f (t)} \subseteq T_2\)に対して、\(t\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_t \subseteq T_1\)、つまり、\(f (U_t) \subseteq U_{f (t)}\)、があり、\(U_t \times I \subseteq T_1 \times I\)は\((t, r)\)のオープンネイバーフッド（開近傍）であり、\(F (U_t \times I) \subseteq U_{f (t)}\); \(F (t, 0) = f (t)\)および\(F (t, 1) = f (t)\)。
2) \(\forall f_1, f_2 \in S (f_1 \sim f_2 \implies f_2 \sim f_1)\): シンメトリー（対称性）: 以下を満たすあるコンティニュアス（連続）\(F: T_1 \times I \to T_2\)、つまり、\(F (t, 0) = f_1 (t)\)および\(F (t, 1) = f_2 (t)\)、がある; \(F': T_1 \times I \to T_2, (t, r) \mapsto F (t, 1 - r)\)としよう、それはコンティニュアス（連続）である、なぜなら、\(F' = F \circ (id, g)\)、ここで、\(g: I \to I, r \mapsto 1 - r\)で、\(id\)および\(g\)は明らかにコンティニュアス（連続）であり、\((id, g)\)はコンティニュアス（連続）である、任意の有限個のコンティヌアス（連続）マップ（写像）たちのプロダクトマップ（写像）は、プロダクトトポロジーによってコンティヌアス（連続）であるという命題によって、そして、当該コンポジション（合成）はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題によって; \(F' (t, 0) = F (t, 1) = f_2 (t)\)および\(F' (t, 1) = F (t, 0) = f_1 (t)\)。
3) \(\forall f_1, f_2, f_3 \in S ((f_1 \sim f_2 \land f_2 \sim f_3)\implies f_1 \sim f_3)\): トランジティビティ（推移性）: 以下を満たすあるコンティニュアス（連続）な\(F_1: T_1 \times I \to T_2\)、つまり、\(F_1 (t, 0) = f_1 (t)\)、および\(F_1 (t, 1) = f_2 (t)\)および以下を満たすあるコンティニュアス（連続）な\(F_2: T_1 \times I \to T_2\)、つまり、\(F_2 (t, 0) = f_2 (t)\)および\(F_2 (t, 1) = f_3 (t)\)、がある; \(F_3: T_1 \times I \to T_2\)を、\(T_1 \times [0, 1 / 2]\)上では\(= F_1 (t, 2 r)\)、\(T_1 \times [1 / 2, 1]\)上では\(= F_2 (t, 2 (r - 1 / 2))\)であると定義しよう、それはウェルデファインド（妥当に定義された）である、なぜなら、\(\{T_1 \times [0, 1 / 2], T_1 \times [1 / 2, 1]\}\)は\(T_1 \times I\)のクローズドカバー（閉被覆）であり、\(F_3\)は首尾一貫している、なぜなら、\(F_3 (t, 1 / 2) = F_1 (t, 1) = f_2 (t) = F_2 (t, 0)\)、そして、\(F_3\)は\(T_1 \times [0, 1 / 2]\)および\(T_1 \times [1 / 2, 1]\)上でコンティニュアス（連続）である、なぜなら、\(F_1 (t, 2 r) = F_1 \circ (id, g)\)、ここで、\(g: [0, 1 / 2] \to [0, 1], r \mapsto 2 r\)、そして、\(F_2 (t, 2 (r - 1 / 2)) = F_2 \circ (id, h)\)、ここで、\(h: [1 / 2, 1] \to [0, 1], r \to 2 (r - 1 / 2)\)、そして、\(F_3\)はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、ある有限数クローズドカバー（閉被覆）の各クローズドセット（閉集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題によって; \(F_3 (t, 0) = F_1 (t, 0) = f_1 (t)\)および\(F_3 (t, 1) = F_2 (t, 1) = f_3 (t)\)。
