901: ホモトピーイクイバレンス（同値写像）

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ホモトピーイクイバレンス（同値写像）の定義

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話題

About: カテゴリー（圏）
About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、hTopカテゴリー（圏）の定義を知っている。
• 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、ホモトピーイクイバレンス（同値写像）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$T_1$: $\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$T_2$: $\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$\ast f$: $:T_1\to T_2$, $\in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}$
$[f]$: $=f\text{ のホモトピックであることによるイクイバレンス（同値）クラス }$
//

コンディションたち:
$[f]\in \{\text{ すべてのhTopアイソモーフィズム（同形写像）たち }\}$
//

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2: 自然言語記述

任意のトポロジカルスペース（空間）たち$T_1,T_2$に対して、以下を満たす任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）$f:T_1\to T_2$、つまり、$f$のホモトピックであることによるイクイバレンス（同値）クラス$[f]$はhTopアイソモーフィズム（同形写像）である。

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3: 注

言い換えると、以下を満たすあるコンティニュアス（連続）マップ（写像）$f^{\prime }:T_2\to T_1$、つまり、$f^{\prime }\circ f\simeq i{d}_{T_1}$および$f\circ f^{\prime }\simeq i{d}_{T_2}$、がある、それは本当に本記事による定義と等しい、なぜなら、それは$[f^{\prime }]\circ [f]=[i{d}_{T_1}]$および$[f]\circ [f^{\prime }]=[i{d}_{T_2}]$に等しく、それは、$[f]$は$hTop$アイソモーフィズム（同形写像）であることに他ならない。

本記事による定義のほうがより良いように思われる、本概念の重要性を強調する点において: それが重要であるのは、それがあるカテゴリー（圏）におけるアイソモーフィズム（同形写像）であるから。

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参考資料

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