hTopカテゴリー（圏）の定義
話題
About: カテゴリー（圏）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、カテゴリー（圏）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ホモトピックマップ（写像）たちの定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちのセット（集合）上において、ホモトピックであることはイクイバレンスリレーション（同値関係）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意の第1トポロジカルスペース（空間）から任意の第2トポロジカルスペース（空間）の中への任意のホモトピックマップ（写像）たちおよび任意の第2トポロジカルスペース（空間）から任意の第3トポロジカルスペース（空間）の中への任意のホモトピックマップ（写像）たちに対して、当該ホモトピックマップ（写像）たちのコンポジション（合成）たちはホモトピックであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、hTopカテゴリー（圏）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(*hTop\): \(\in \{\text{ 全てのカテゴリー（圏）たち }\}\)
//
コンディションたち:
\(Obj (Top) = \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\).
\(\land\)
\(\forall O_1, O_2 \in Obj (Top) (Hom (O_1, O_2) = \{[f: O_1 \to O_2] \vert [f] \in \{\text{ ホモトピックマップ（写像）たちの全てのイクイバレンス（同値）クラスたち }\}\})\).
\(\land\)
\(\forall O_1, O_2, O_3 \in Obj (Top), \forall [f_1] \in Hom (O_1, O_2), \forall [f_2] \in Hom (O_2, O_3) ([f_2] \circ [f_1] = [f_2 \circ f_1])\).
//
2: 自然言語記述
以下を満たすカテゴリー（圏）\(hTop\)、つまり、\(Obj (Top) = \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)、\(\forall O_1, O_2 \in Obj (Top) (Hom (O_1, O_2) = \{[f: O_1 \to O_2] \vert [f] \in \{\text{ ホモトピックマップ（写像）たちの全てのイクイバレンス（同値）クラスたち }\}\})\)、\(\forall O_1, O_2, O_3 \in Obj (Top), \forall [f_1] \in Hom (O_1, O_2), \forall [f_2] \in Hom (O_2, O_3) ([f_2] \circ [f_1] = [f_2 \circ f_1])\)
3: 注
本定義が可能であるのは、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間の全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちのセット（集合）上において、ホモトピックであることはイクイバレンスリレーション（同値関係）であるという命題および任意の第1トポロジカルスペース（空間）から任意の第2トポロジカルスペース（空間）の中への任意のホモトピックマップ（写像）たちおよび任意の第2トポロジカルスペース（空間）から任意の第3トポロジカルスペース（空間）の中への任意のホモトピックマップ（写像）たちに対して、当該ホモトピックマップ（写像）たちのコンポジション（合成）たちはホモトピックであるという命題による。
マップ（写像）たちがホモトピックであるのは、\(Top\)カテゴリー（圏）上のコングルーエンスであり、\(hTop\)は、当該コングルーエンスによる\(Top\)のクウォシェント（商）カテゴリー（圏）である。
