902: アジャンクショントポロジカルスペース（空間）はハウスドルフである、もしも、アタッチ先スペース（空間）がハウスドルフで、アタッチ元スペース（空間）がレギュラー（正則）で、アタッチングマップ（写像）のドメイン（定義域）がクローズド（閉）でオープンネイバーフッド（開近傍）のリトラクトである場合|T.B.P.日本語版

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アジャンクショントポロジカルスペース（空間）はハウスドルフである、もしも、アタッチ先スペース（空間）がハウスドルフで、アタッチ元スペース（空間）がレギュラー（正則）で、アタッチングマップ（写像）のドメイン（定義域）がクローズド（閉）でオープンネイバーフッド（開近傍）のリトラクトである場合、ことの記述/証明

話題

About: トポロジカルスペース（空間）

開始コンテキスト

読者は、トポロジカルスペース（空間）をマップ（写像）を介してトポロジカルスペース（空間）へアタッチして得られたアジャンクショントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
読者は、ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
読者は、レギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
読者は、トポロジカルスペース（空間）のリトラクトの定義を知っている。
読者は、サブセット（部分集合）のネイバーフッド（近傍）の定義を知っている。
読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題を認めている。
読者は、任意のディスジョイント（互いに素な）サブセット（部分集合）たちの任意のマップ（写像）下のプリイメージ（前像）たちはディスジョイント（互いに素）であるという命題を認めている。
読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。

ターゲットコンテキスト

読者は、任意のアジャンクショントポロジカルスペース（空間）はハウスドルフである、もしも、アタッチ先スペース（空間）がハウスドルフで、アタッチ元スペース（空間）がレギュラー（正則）で、アタッチングマップ（写像）のドメイン（定義域）がクローズド（閉）でありドメイン（定義域）のあるオープンネイバーフッド（開近傍）のリトラクトである場合、という命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:

T_{1}

\in {全てのレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）たち}

T_{2}

\in {全てのハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たち}

S

\in {T_{1} の全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たち}

f

S \to T_{2}

\in {全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち}

T_{2} \cup_{f} T_{1}

= 当該アジャンクショントポロジカルスペース（空間）

//

ステートメント（言明）たち:

\exists U_{S} \subseteq T_{1} \in {S の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち}, \exists r : U_{S} \to S \in {全てのリトラクションたち}

⟹

T_{2} \cup_{f} T_{1} \in {全てのハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たち}

2: 自然言語記述

任意のレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）

T_{1}

、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）

T_{2}

、任意のクローズドサブセット（閉部分集合）

S \subseteq T_{1}

で

S

の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）

U_{S} \subseteq T_{1}

のリトラクトであるもの、ここで、

r : U_{S} \to S

は当該リトラクション、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）

f : S \to T_{2}

に対して、アジャンクショントポロジカルスペース（空間）

T_{2} \cup_{f} T_{1}

はハウスドルフである。

3: 証明

全体戦略: ステップ1:

[p]

の代表

p

を

p \in T_{2}

または

p \in T_{1} ∖ S

として取るというルールを採択する、それは、各

[p]

に対する代表をユニークにする; ステップ2: 以下を満たす任意の

[p_{1}], [p_{2}] \in T_{2} \cup_{f} T_{1}

、つまり、

[p_{1}] \neq [p_{2}]

、に対して、

p_{1}, p_{2} \in T_{2}

であるケースに対処する; ステップ3:

p_{1}, p_{2} \in T_{1} ∖ S

であるケースに対処する; ステップ4:

p_{1} \in T_{1} ∖ S

および

p_{2} \in T_{2}

であるケースに対処する。

ステップ1:

カノニカル（正典）マップ（写像）たちを

f_{1} : S \to T_{1}

、

f_{2} : T_{1} \to T_{2} \cup_{f} T_{1}

、

f_{3} : T_{2} \to T_{2} \cup_{f} T_{1}

、

f_{4} : T_{1} + T_{2} \to T_{2} \cup_{f} T_{1}

と記す。

[p]

の代表

p

を

p \in T_{2}

または

p \in T_{1} ∖ S

として取るというルールを採択しよう、それは、各

[p]

に対する代表をユニークにする。

本命題は、以下を満たす任意の

[p_{1}], [p_{2}] \in T_{2} \cup_{f} T_{1}

、つまり、

[p_{1}] \neq [p_{2}]

、の周りの以下を満たす何らかのオープンネイバーフッド（開近傍）たち,

U_{[p_{1}]}, U_{[p_{2}]} \subseteq T_{2} \cup_{f} T_{1}

、つまり、

U_{[p_{1}]} \cap U_{[p_{2}]} = \emptyset

、を取るという問題である。

ステップ2:

p_{1}, p_{2} \in T_{2}

であると仮定しよう。

p_{1} \neq p_{2}

。以下を満たす何らかのオープンネイバーフッド（開近傍）たち

U_{p_{1}}, U_{p_{2}} \subseteq T_{2}

、つまり、

U_{p_{1}} \cap U_{p_{2}} = \emptyset

、がある、なぜなら、

T_{2}

はハウスドルフである。

f \circ r : U_{S} \to T_{2}

はコンティニュアス（連続）である。

(f \circ r)^{- 1} (U_{p_{i}})

は

U_{S}

上でオープン（開）である、したがって、

T_{1}

上でオープン（開）である、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題によって。

(f \circ r)^{- 1} (U_{p_{1}})

と

(f \circ r)^{- 1} (U_{p_{2}})

はディスジョイント（互いに素）である、任意のディスジョイント（互いに素な）サブセット（部分集合）たちの任意のマップ（写像）下のプリイメージ（前像）たちはディスジョイント（互いに素）であるという命題によって。

U_{i}^{'} := f_{3} (U_{p_{i}}) \cup f_{2} ((f \circ r)^{- 1} (U_{p_{i}}))

を定義しよう。

U_{1}^{'}

と

U_{2}^{'}

はディスジョイント（互いに素）である、なぜなら、任意の

[p] \in U_{i}^{'}

に対して、

[p] \in f_{3} (U_{p_{i}})

または

[p] \in f_{2} ((f \circ r)^{- 1} (U_{p_{i}}))

、

p \in U_{p_{i}}

または

p \in (f \circ r)^{- 1} (U_{p_{i}}) \cap (U_{S} ∖ S)

、なぜなら、

(f \circ r)^{- 1} (U_{p_{i}}) = ((f \circ r)^{- 1} (U_{p_{i}}) \cap S) \cup ((f \circ r)^{- 1} (U_{p_{i}}) \cap (U_{S} ∖ S))

であるところ、

f ((f \circ r)^{- 1} (U_{p_{i}}) \cap S) \subseteq U_{p_{i}}

、なぜなら、

(f \circ r)^{- 1} = r^{- 1} \circ f^{- 1}

であるところ、各

p^{'} \in (r^{- 1} \circ f^{- 1} (U_{p_{i}})) \cap S

に対して、

p^{'} \in f^{- 1} (U_{p_{i}})

、なぜなら、

r

は

S

上のいかなるポイントも移動させない。

U_{i}^{'}

は

T_{2} \cup_{f} T_{1}

上でオープン（開）である、なぜなら、

{f_{4}}^{- 1} (U_{i}^{'}) \cap T_{1} = ((f \circ r)^{- 1} (U_{i}) \cap (U_{S} ∖ S)) \cup f^{- 1} (U_{i}) = (f \circ r)^{- 1} (U_{i})

、

T_{1}

上でオープン（開）、そして、

{f_{4}}^{- 1} (U_{i}^{'}) \cap T_{2} = U_{i}

、

T_{2}

上でオープン（開）。

ステップ3:

p_{1}, p_{2} \in T_{1} ∖ S

であると仮定しよう。

T_{1}

はレギュラー（正則）であるので、

T_{1}

はハウスドルフであり、以下を満たす何らかのオープンネイバーフッド（開近傍）たち

U_{p_{1}}, U_{p_{2}} \subseteq T_{1}

、つまり、

U_{p_{1}} \cap U_{p_{2}} = \emptyset

、がある。

S

はクローズド（閉）であるから、

T_{1} ∖ S

は

T_{1}

上でオープン（開）である、

U_{i}^{'} := U_{p_{i}} \cap (T_{1} ∖ S)

は

T_{1}

上でオープン（開）である、

f_{2} (U_{i}^{'})

は

T_{2} \cup_{f} T_{1}

上でオープン（開）である、

f_{2} (U_{1}^{'}) \cap f_{2} (U_{2}^{'}) = \emptyset

。

ステップ4:

p_{1} \in T_{1} ∖ S

および

p_{2} \in T_{2}

であると仮定しよう。

T_{1}

はレギュラー（正則）で

S

はクローズド（閉）であるから、

p_{1}

および

S

の以下を満たす何らかのオープンネイバーフッド（開近傍）たち

U_{p_{1}} \subseteq T_{1}

および

U_{S}^{'} \subseteq T_{1}

、つまり、

U_{p_{1}} \cap U_{S}^{'} = \emptyset

、がある。

r

のリストリクション（制限）

r^{'} := r |_{U_{S} \cap U_{S}^{'}} : U_{S} \cap U_{S}^{'} \to S

、コンティニュアス（連続）、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって、を取ろう。

p_{2}

のあるオープンネイバーフッド（開近傍）

U_{p_{2}} \subseteq T_{2}

がある。

f \circ r^{'}

はコンティニュアス（連続）である、

(f \circ r^{'})^{- 1} (U_{p_{2}})

は

U_{S} \cap U_{S}^{'}

上でオープン（開）である、したがって、

T_{1}

上でオープン（開）である、

U_{S} \cap U_{S}^{'}

は

T_{1}

上でオープン（開）であるから、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題によって。

U_{1}^{'} := f_{2} (U_{p_{1}})

および

U_{2}^{'} := f_{3} (U_{p_{2}}) \cup f_{2} ((f \circ r^{'})^{- 1} (U_{p_{2}}))

を定義しよう。

U_{1}^{'}

と

U_{2}^{'}

はディスジョイント（互いに素）である、なぜなら、任意の

[p] \in U_{2}^{'}

に対して、

[p] \in f_{3} (U_{p_{2}})

または

[p] \in f_{2} ((f \circ r^{'})^{- 1} (U_{p_{2}}))

、

p \in U_{p_{2}}

または

p \in (f \circ r^{'})^{- 1} (U_{p_{2}}) \cap ((U_{S} \cap U_{S}^{'}) ∖ S)

、前と同様に。

U_{1}^{'}

は

T_{2} \cup_{f} T_{1}

上でオープン（開）である、なぜなら、

{f_{4}}^{- 1} (U_{1}^{'}) \cap T_{1} = U_{p_{1}}

、

T_{1}

上でオープン（開）、そして、

{f_{4}}^{- 1} (U_{1}^{'}) \cap T_{2} = \emptyset

、

T_{2}

上でオープン（開）。

U_{2}^{'}

は

T_{2} \cup_{f} T_{1}

上でオープン（開）である、なぜなら、

{f_{4}}^{- 1} (U_{2}^{'}) \cap T_{1} = ((f \circ r^{'})^{- 1} (U_{p_{2}}) \cap (U_{S}^{'} ∖ S)) \cup f^{- 1} (U_{p_{2}}) = (f \circ r^{'})^{- 1} (U_{p_{2}})

、

T_{1}

上でオープン（開）、そして、

{f_{4}}^{- 1} (U_{p_{2}}^{'}) \cap T_{2} = U_{p_{2}}

、

T_{2}

上でオープン（開）。

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2024年12月15日日曜日

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