アジャンクショントポロジカルスペース（空間）はハウスドルフである、もしも、アタッチ先スペース（空間）がハウスドルフで、アタッチ元スペース（空間）がレギュラー（正則）で、アタッチングマップ（写像）のドメイン（定義域）がクローズド（閉）でオープンネイバーフッド（開近傍）のリトラクトである場合、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）をマップ（写像）を介してトポロジカルスペース（空間）へアタッチして得られたアジャンクショントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、レギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のリトラクトの定義を知っている。
- 読者は、サブセット（部分集合）のネイバーフッド（近傍）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題を認めている。
- 読者は、任意のディスジョイント（互いに素な）サブセット（部分集合）たちの任意のマップ（写像）下のプリイメージ（前像）たちはディスジョイント（互いに素）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のアジャンクショントポロジカルスペース（空間）はハウスドルフである、もしも、アタッチ先スペース（空間）がハウスドルフで、アタッチ元スペース（空間）がレギュラー（正則）で、アタッチングマップ（写像）のドメイン（定義域）がクローズド（閉）でありドメイン（定義域）のあるオープンネイバーフッド（開近傍）のリトラクトである場合、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T_1\): \(\in \{\text{ 全てのレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_2\): \(\in \{\text{ 全てのハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(S\): \(\in \{T_1 \text{ の全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たち }\}\)
\(f\): \(S \to T_2\), \(\in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\)
\(T_2 \cup_f T_1\): \(= \text{ 当該アジャンクショントポロジカルスペース（空間） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists U_S \subseteq T_1 \in \{S \text{ の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\}, \exists r: U_S \to S \in \{\text{ 全てのリトラクションたち }\}\)
\(\implies\)
\(T_2 \cup_f T_1 \in \{\text{ 全てのハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意のレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）\(T_1\)、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）\(T_2\)、任意のクローズドサブセット（閉部分集合）\(S \subseteq T_1\)で\(S\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_S \subseteq T_1\)のリトラクトであるもの、ここで、\(r: U_S \to S\)は当該リトラクション、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）\(f: S \to T_2\)に対して、アジャンクショントポロジカルスペース（空間）\(T_2 \cup_f T_1\)はハウスドルフである。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \([p]\)の代表\(p\)を\(p \in T_2\)または\(p \in T_1 \setminus S\)として取るというルールを採択する、それは、各\([p]\)に対する代表をユニークにする; ステップ2: 以下を満たす任意の\([p_1], [p_2] \in T_2 \cup_f T_1\)、つまり、\([p_1] \neq [p_2]\)、に対して、\(p_1, p_2 \in T_2\)であるケースに対処する; ステップ3: \(p_1, p_2 \in T_1 \setminus S\)であるケースに対処する; ステップ4: \(p_1 \in T_1 \setminus S\)および\(p_2 \in T_2\)であるケースに対処する。
ステップ1:
カノニカル（正典）マップ（写像）たちを\(f_1: S \to T_1\)、\(f_2: T_1 \to T_2 \cup_f T_1\)、\(f_3: T_2 \to T_2 \cup_f T_1\)、\(f_4: T_1 + T_2 \to T_2 \cup_f T_1\)と記す。
\([p]\)の代表\(p\)を\(p \in T_2\)または\(p \in T_1 \setminus S\)として取るというルールを採択しよう、それは、各\([p]\)に対する代表をユニークにする。
本命題は、以下を満たす任意の\([p_1], [p_2] \in T_2 \cup_f T_1\)、つまり、\([p_1] \neq [p_2]\)、の周りの以下を満たす何らかのオープンネイバーフッド（開近傍）たち, \(U_{[p_1]}, U_{[p_2]} \subseteq T_2 \cup_f T_1\)、つまり、\(U_{[p_1]} \cap U_{[p_2]} = \emptyset\)、を取るという問題である。
ステップ2:
\(p_1, p_2 \in T_2\)であると仮定しよう。
\(p_1 \neq p_2\)。以下を満たす何らかのオープンネイバーフッド（開近傍）たち\(U_{p_1}, U_{p_2} \subseteq T_2\)、つまり、\(U_{p_1} \cap U_{p_2} = \emptyset\)、がある、なぜなら、\(T_2\)はハウスドルフである。\(f \circ r: U_S \to T_2\)はコンティニュアス（連続）である。\((f \circ r)^{-1} (U_{p_i})\)は\(U_S\)上でオープン（開）である、したがって、\(T_1\)上でオープン（開）である、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題によって。\((f \circ r)^{-1} (U_{p_1})\)と\((f \circ r)^{-1} (U_{p_2})\)はディスジョイント（互いに素）である、任意のディスジョイント（互いに素な）サブセット（部分集合）たちの任意のマップ（写像）下のプリイメージ（前像）たちはディスジョイント（互いに素）であるという命題によって。
\(U'_i := f_3 (U_{p_i}) \cup f_2 ((f \circ r)^{-1} (U_{p_i}))\)を定義しよう。\(U'_1\)と\(U'_2\)はディスジョイント（互いに素）である、なぜなら、任意の\([p] \in U'_i\)に対して、\([p] \in f_3 (U_{p_i})\)または\([p] \in f_2 ((f \circ r)^{-1} (U_{p_i}))\)、\(p \in U_{p_i}\)または\(p \in (f \circ r)^{-1} (U_{p_i}) \cap (U_S \setminus S)\)、なぜなら、\((f \circ r)^{-1} (U_{p_i}) = ((f \circ r)^{-1} (U_{p_i}) \cap S) \cup ((f \circ r)^{-1} (U_{p_i}) \cap (U_S \setminus S))\)であるところ、\(f ((f \circ r)^{-1} (U_{p_i}) \cap S) \subseteq U_{p_i}\)、なぜなら、\((f \circ r)^{-1} = r^{-1} \circ f^{-1}\)であるところ、各\(p' \in (r^{-1} \circ f^{-1} (U_{p_i})) \cap S\)に対して、\(p' \in f^{-1} (U_{p_i})\)、なぜなら、\(r\)は\(S\)上のいかなるポイントも移動させない。\(U'_i\)は\(T_2 \cup_f T_1\)上でオープン（開）である、なぜなら、\({f_4}^{-1} (U'_i) \cap T_1 = ((f \circ r)^{-1} (U_i) \cap (U_S \setminus S)) \cup f^{-1} (U_i) = (f \circ r)^{-1} (U_i)\)、\(T_1\)上でオープン（開）、そして、\({f_4}^{-1} (U'_i) \cap T_2 = U_i\)、\(T_2\)上でオープン（開）。
ステップ3:
\(p_1, p_2 \in T_1 \setminus S\)であると仮定しよう。
\(T_1\)はレギュラー（正則）であるので、\(T_1\)はハウスドルフであり、以下を満たす何らかのオープンネイバーフッド（開近傍）たち\(U_{p_1}, U_{p_2} \subseteq T_1\)、つまり、\(U_{p_1} \cap U_{p_2} = \emptyset\)、がある。\(S\)はクローズド（閉）であるから、\(T_1 \setminus S\)は\(T_1\)上でオープン（開）である、\(U'_i := U_{p_i} \cap (T_1 \setminus S)\)は\(T_1\)上でオープン（開）である、\(f_2 (U'_i)\)は\(T_2 \cup_f T_1\)上でオープン（開）である、\(f_2 (U'_1) \cap f_2 (U'_2) = \emptyset\)。
ステップ4:
\(p_1 \in T_1 \setminus S\)および\(p_2 \in T_2\)であると仮定しよう。
\(T_1\)はレギュラー（正則）で\(S\)はクローズド（閉）であるから、\(p_1\)および\(S\)の以下を満たす何らかのオープンネイバーフッド（開近傍）たち\(U_{p_1} \subseteq T_1\)および\(U'_S \subseteq T_1\)、つまり、\(U_{p_1} \cap U'_S = \emptyset\)、がある。\(r\)のリストリクション（制限）\(r' := r\vert_{U_S \cap U'_S}: U_S \cap U'_S \to S\)、コンティニュアス（連続）、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって、を取ろう。\(p_2\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{p_2} \subseteq T_2\)がある。\(f \circ r'\)はコンティニュアス（連続）である、\((f \circ r')^{-1} (U_{p_2})\)は\(U_S \cap U'_S\)上でオープン（開）である、したがって、\(T_1\)上でオープン（開）である、\(U_S \cap U'_S\)は\(T_1\)上でオープン（開）であるから、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題によって。
\(U'_1 := f_2 (U_{p_1})\)および\(U'_2 := f_3 (U_{p_2}) \cup f_2 ((f \circ r')^{-1} (U_{p_2}))\)を定義しよう。\(U'_1\)と\(U'_2\)はディスジョイント（互いに素）である、なぜなら、任意の\([p] \in U'_2\)に対して、\([p] \in f_3 (U_{p_2})\)または\([p] \in f_2 ((f \circ r')^{-1} (U_{p_2}))\)、\(p \in U_{p_2}\)または\(p \in (f \circ r')^{-1} (U_{p_2}) \cap ((U_S \cap U'_S) \setminus S)\)、前と同様に。\(U'_1\)は\(T_2 \cup_f T_1\)上でオープン（開）である、なぜなら、\({f_4}^{-1} (U'_1) \cap T_1 = U_{p_1}\)、\(T_1\)上でオープン（開）、そして、\({f_4}^{-1} (U'_1) \cap T_2 = \emptyset\)、\(T_2\)上でオープン（開）。\(U'_2\)は\(T_2 \cup_f T_1\)上でオープン（開）である、なぜなら、\({f_4}^{-1} (U'_2) \cap T_1 = ((f \circ r')^{-1} (U_{p_2}) \cap (U'_S \setminus S)) \cup f^{-1} (U_{p_2}) = (f \circ r')^{-1} (U_{p_2})\)、\(T_1\)上でオープン（開）、そして、\({f_4}^{-1} (U'_{p_2}) \cap T_2 = U_{p_2}\)、\(T_2\)上でオープン（開）。
