メジャラブル（測定可能）スペース（空間）たち間のマップ（写像）に対して、もしも、コドメイン（余域）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）のジェネレーター（生成子）の各要素のプリイメージ（前像）がメジャラブル（測定可能）である場合、マップ（写像）はメジャラブル（測定可能）であることの記述/証明
話題
About: メジャー（測度）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメジャラブル（測定可能）スペース（空間）たち間の任意のマップ（写像）に対して、もしも、当該コドメイン（余域）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の任意のジェネレーター（生成子）の各要素のプリイメージ（前像）がメジャラブル（測定可能）である場合、当該マップ（写像）はメジャラブル（測定可能）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\((S_1, A_1)\): \(\in \{\text{ 全てのメジャラブル（測定可能）スペース（空間）たち }\}\)
\((S_2, A_2)\): \(\in \{\text{ 全てのメジャラブル（測定可能）スペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: S_1 \to S_2\)
//
ステートメント（言明）たち :
(
\(\exists S \subseteq Pow (S_2) \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } A_2 = \sigma (S)\)
\(\land\)
\(\forall s \in S (f^{-1} (s) \in A_1)\)
)
\(\implies\)
\(f \in \{\text{ 全てのメジャラブル（測定可能）マップ（写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(S_2\)上の、\(f\)によってインデュースト（誘導された）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）\(A\)を取る; ステップ2: \(A_2 \subseteq A\)であることを見る; ステップ3: \(A_2\)の各要素のプリイメージ（前像）はメジャラブル（測定可能）であることを見る。
ステップ1:
\(S_2\)上の、\(f\)によってインデュースト（誘導された）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）\(A\)を取ろう。
ステップ2:
仮定によって、\(S \subseteq A\)。
\(A_2 = \sigma (S)\)は、\(S\)を包含する全ての\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）たちのインターセクション（共通集合）であるから、\(A_2 \subseteq A\)、なぜなら、\(A\)は当該インターセクション（共通集合）の構成要素である。
ステップ3:
それが意味するのは、各\(a \in A_2\)に対して、\(f^{-1} (a) \in A_1\)、それが意味するのは、\(f\)はメジャラブル（測定可能）であるということ。
