914: メジャラブル（測定可能）スペース（空間）たち間のマップ（写像）に対して、もしも、コドメイン（余域）σ-アルジェブラ（多元環）のジェネレーター（生成子）の各要素のプリイメージ（前像）がメジャラブル（測定可能）である場合、マップ（写像）はメジャラブル（測定可能）である

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メジャラブル（測定可能）スペース（空間）たち間のマップ（写像）に対して、もしも、コドメイン（余域）$\sigma$-アルジェブラ（多元環）のジェネレーター（生成子）の各要素のプリイメージ（前像）がメジャラブル（測定可能）である場合、マップ（写像）はメジャラブル（測定可能）であることの記述/証明

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話題

About: メジャー（測度）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、セット（集合）の、サブセット（部分集合）たちのセット（集合）によって生成された$\sigma$-アルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
• 読者は、メジャラブル（測定可能）スペース（空間）たち間のメジャラブル（測定可能）マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、メジャラブル（測定可能）スペース（空間）からのマップ（写像）のコドメイン（余域）上にインデュースト（誘導された）$\sigma$-アルジェブラ（多元環）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のメジャラブル（測定可能）スペース（空間）たち間の任意のマップ（写像）に対して、もしも、当該コドメイン（余域）$\sigma$-アルジェブラ（多元環）の任意のジェネレーター（生成子）の各要素のプリイメージ（前像）がメジャラブル（測定可能）である場合、当該マップ（写像）はメジャラブル（測定可能）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$(S_1,A_1)$: $\in \{\text{ 全てのメジャラブル（測定可能）スペース（空間）たち }\}$
$(S_2,A_2)$: $\in \{\text{ 全てのメジャラブル（測定可能）スペース（空間）たち }\}$
$f$: $:S_1\to S_2$
//

ステートメント（言明）たち　:
(
$\mathrm{\exists }S\subseteq Pow(S_2)\text{ で、以下を満たすもの、つまり、 }{A}_2=\sigma (S)$
$\wedge$
$\mathrm{\forall }s\in S(f^{-1}(s)\in A_1)$
)
$⟹$
$f\in \{\text{ 全てのメジャラブル（測定可能）マップ（写像）たち }\}$
//

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2: 証明

全体戦略: ステップ1: $S_2$上の、$f$によってインデュースト（誘導された）$\sigma$-アルジェブラ（多元環）$A$を取る; ステップ2: $A_2\subseteq A$であることを見る; ステップ3: $A_2$の各要素のプリイメージ（前像）はメジャラブル（測定可能）であることを見る。

ステップ1:

$S_2$上の、$f$によってインデュースト（誘導された）$\sigma$-アルジェブラ（多元環）$A$を取ろう。

ステップ2:

仮定によって、$S\subseteq A$。

$A_2=\sigma (S)$は、$S$を包含する全ての$\sigma$-アルジェブラ（多元環）たちのインターセクション（共通集合）であるから、$A_2\subseteq A$、なぜなら、$A$は当該インターセクション（共通集合）の構成要素である。

ステップ3:

それが意味するのは、各$a\in A_2$に対して、$f^{-1}(a)\in A_1$、それが意味するのは、$f$はメジャラブル（測定可能）であるということ。

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参考資料

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