サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）はサブセット（部分集合）たちのコンプリメント（補集合）たちのユニオン（和集合）のコンプリメント（補集合）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、任意の、アンカウンタブル（不可算）であるかもしれない数のサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのコンプリメント（補集合）たちのユニオン（和集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(\{S_\beta \subseteq S \vert \beta \in B\}\): \(B \in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\cap_{\beta \in B} (S_\beta) = S \setminus \cup_{\beta \in B} (S \setminus S_\beta)\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(S \setminus S_\beta\)を任意のセット（集合）に対して、任意の、アンカウンタブル（不可算）であるかもしれない数のサブセット（部分集合）たち、のコンプリメント（補集合）たちのインターセクション（共通集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題内の\(S_\beta\)として取る。
ステップ1:
\(S \setminus (S \setminus S_\beta) = S_\beta\)。
任意のセット（集合）に対して、任意の、アンカウンタブル（不可算）であるかもしれない数のサブセット（部分集合）たち、のコンプリメント（補集合）たちのインターセクション（共通集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題内の\(S_\beta\)として、\(S \setminus S_\beta\)を取ろう、すると、\(\cap_{\beta \in B} (S \setminus (S \setminus S_\beta)) = S \setminus \cup_{\beta \in B} (S \setminus S_\beta)\)、しかし、\(\cap_{\beta \in B} (S \setminus (S \setminus S_\beta)) = \cap_{\beta \in B} S_\beta\)、したがって、\(\cap_{\beta \in B} S_\beta = S \setminus \cup_{\beta \in B} (S \setminus S_\beta)\)。
