903: ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）のリトラクトはクローズド（閉）である

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ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）のリトラクトはクローズド（閉）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）のリトラクトの定義を知っている。
• 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
• 読者は、オープン（開）であることのローカル基準を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）上の任意のリトラクトは当該スペース（空間）上でクローズド（閉）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$T$: $\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$S$: $\in \{T\text{ の全てのリトラクトたち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$S\in \{T\text{ の全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たち }\}$
//

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2: 自然言語記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$に対して、任意のリトラクト$S\subseteq T$は$T$上でクローズド（閉）である。

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3: 証明

全体戦略: $T\setminus S$に対してオープン（開）であることのローカル基準を用いる; ステップ1: あるリトラクション$r:T\to S$を取る; ステップ2: 各$p\in T\setminus S$に対して、$p$の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U\subseteq T$、つまり、$U\subseteq T\setminus S$、を取る。

ステップ1:

あるリトラクション$r:T\to S$がある、それはコンティニュアス（連続）であり、$r{|}_S=id$を満たす。

ステップ2:

$p\in T\setminus S$は任意のものであるとしよう。

$r(p)\ne p$、したがって、$p$および$r(p)$の以下を満たす何らかのオープンネイバーフッド（開近傍）たち$U_p\subseteq T$および$U_{r(p)}\subseteq T$、つまり、$U_p\cap U_{r(p)}=\mathrm{\varnothing }$、がある、なぜなら、$T$はハウスドルフである。

$U:=r^{-1}(U_{r(p)}\cap S)\cap U_p$であるとしよう。

$p\in U$、なぜなら、$r(p)\in U_{r(p)}\cap S$、したがって、$p\in r^{-1}(U_{r(p)}\cap S)$。

$U$は$T$上でオープン（開）である、なぜなら、$U_{r(p)}\cap S$は$S$上でオープン（開）であり、$r$はコンティニュアス（連続）である。

$U\subseteq (T\setminus S)$、なぜなら、$r^{-1}(U_{r(p)}\cap S)$は、$U_{r(p)}\cap S$および$S$の外のいくつかのポイントたちから成る、なぜなら、$r{|}_S$はアイデンティティマップ（恒等写像）であるから、$S\setminus (U_{r(p)}\cap S)$内の任意のポイントは$U_{r(p)}\cap S$の中にはマップされない、そして、$U_p\cap U_{r(p)}=\mathrm{\varnothing }$であるから、$U$は$S$の外のポイントたちだけから成る。

したがって、$T\setminus S$は$T$上でオープン（開）である、オープン（開）であることのローカル基準によって。したがって、$S$は$T$上でクローズド（閉）である。

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参考資料

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