ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）のリトラクトはクローズド（閉）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のリトラクトの定義を知っている。
- 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
- 読者は、オープン（開）であることのローカル基準を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）上の任意のリトラクトは当該スペース（空間）上でクローズド（閉）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(S\): \(\in \{T \text{ の全てのリトラクトたち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(S \in \{T \text{ の全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)に対して、任意のリトラクト\(S \subseteq T\)は\(T\)上でクローズド（閉）である。
3: 証明
全体戦略: \(T \setminus S\)に対してオープン（開）であることのローカル基準を用いる; ステップ1: あるリトラクション\(r: T \to S\)を取る; ステップ2: 各\(p \in T \setminus S\)に対して、\(p\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U \subseteq T\)、つまり、\(U \subseteq T \setminus S\)、を取る。
ステップ1:
あるリトラクション\(r: T \to S\)がある、それはコンティニュアス（連続）であり、\(r \vert_S = id\)を満たす。
ステップ2:
\(p \in T \setminus S\)は任意のものであるとしよう。
\(r (p) \neq p\)、したがって、\(p\)および\(r (p)\)の以下を満たす何らかのオープンネイバーフッド（開近傍）たち\(U_p \subseteq T\)および\(U_{r (p)} \subseteq T\)、つまり、\(U_p \cap U_{r (p)} = \emptyset\)、がある、なぜなら、\(T\)はハウスドルフである。
\(U := r^{-1} (U_{r (p)} \cap S) \cap U_p\)であるとしよう。
\(p \in U\)、なぜなら、\(r (p) \in U_{r (p)} \cap S\)、したがって、\(p \in r^{-1} (U_{r (p)} \cap S)\)。
\(U\)は\(T\)上でオープン（開）である、なぜなら、\(U_{r (p)} \cap S\)は\(S\)上でオープン（開）であり、\(r\)はコンティニュアス（連続）である。
\(U \subseteq (T \setminus S)\)、なぜなら、\(r^{-1} (U_{r (p)} \cap S)\)は、\(U_{r (p)} \cap S\)および\(S\)の外のいくつかのポイントたちから成る、なぜなら、\(r\vert_S\)はアイデンティティマップ（恒等写像）であるから、\(S \setminus (U_{r (p)} \cap S)\)内の任意のポイントは\(U_{r (p)} \cap S\)の中にはマップされない、そして、\(U_p \cap U_{r (p)} = \emptyset\)であるから、\(U\)は\(S\)の外のポイントたちだけから成る。
したがって、\(T \setminus S\)は\(T\)上でオープン（開）である、オープン（開）であることのローカル基準によって。したがって、\(S\)は\(T\)上でクローズド（閉）である。
