フィールド（体）に対して、0のポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）乗ルート（根）は0であることの記述/証明
話題
About: フィールド（体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、フィールド（体）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のフィールド（体）に対して、0の任意のポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）乗ルート（根）は0であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てフィールド（体）たち }\}\)
\(n\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(R_{0, n}\): \(= \{\alpha \in F \vert \alpha^n = 0\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(R_{0, n} = \{0\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(0 \in R_{0, n}\)であることを見る; ステップ2: 各\(\alpha \in R_{0, n}\)に対して、\(\alpha = 0\)であることを見る。
ステップ1:
\(0^n = 0\)であることを見よう。
各\(r \in F\)に対して、\(r 0 = 0\): \(r (1 + 0) = r 1 = r\)、なぜなら、\(0\)はアディティブ（加法）アイデンティティ（単位要素）であり、\(1\)はマルチプリケーション（乗法）アイデンティティ（単位要素）である、しかし、\(r (1 + 0) = r 1 + r 0\)、ディストリビュータビリティ（分配性）によって、\(= r + r 0\)、なぜなら、\(1\)はマルチプリカティブ（乗法）アイデンティティ（単位要素）である; したがって、\(r + r 0 = r\)、そして、\(r 0 = - r + r + r 0 = - r + r = 0\)。
特に、\(0^2 = 0 0 = 0\)。
\(0^m = 0\)と仮定して、\(0^{m + 1} = 0^m 0 = 0^2 = 0\)。
したがって、インダクションプリンシプル（数学的帰納法）によって、\(0^n = 0\)。
ステップ2:
\(\alpha \in R_{0, n}\)は任意であるとしよう。
\(\alpha^n = 0\)。
\(n = 1\)である時、\(\alpha^1 = \alpha = 0\)。
これ以降、\(1 \lt n\)であると仮定しよう。
\(\alpha \neq 0\)であったと仮定しよう。すると、あるマルチプリカティブ（ 乗法）インバース（逆）\(\alpha^{-1} \in F\)があることになる。\(\alpha^{n - 1} = \alpha^n \alpha^{-1} = 0 \alpha^{-1} = 0\)。\(n - 1 = 1\)である時は、\(\alpha^{n - 1} = \alpha = 0\)、矛盾。そうでなければ、\(\alpha^{n - 2} = 0\)、同様に。\(n - 2 = 1\)である時は、\(\alpha = 0\)、矛盾。そうでなければ、...、等々。いずれにせよ、そのうちに、\(\alpha = 0\)、矛盾。
したがって、\(\alpha = 0\)。
