967: フィールド（体）に対して、0のポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）乗ルート（根）は0である

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フィールド（体）に対して、0のポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）乗ルート（根）は0であることの記述/証明

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話題

About: フィールド（体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、フィールド（体）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のフィールド（体）に対して、0の任意のポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）乗ルート（根）は0であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てフィールド（体）たち }\}$
$n$: $\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$
$R_{0,n}$: $=\{\alpha \in F|{\alpha }^n=0\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$R_{0,n}=\{0\}$
//

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2: 証明

全体戦略: ステップ1: $0\in R_{0,n}$であることを見る; ステップ2: 各$\alpha \in R_{0,n}$に対して、$\alpha =0$であることを見る。

ステップ1:

$0^n=0$であることを見よう。

各$r\in F$に対して、$r0=0$: $r(1+0)=r1=r$、なぜなら、$0$はアディティブ（加法）アイデンティティ（単位要素）であり、$1$はマルチプリケーション（乗法）アイデンティティ（単位要素）である、しかし、$r(1+0)=r1+r0$、ディストリビュータビリティ（分配性）によって、$=r+r0$、なぜなら、$1$はマルチプリカティブ（乗法）アイデンティティ（単位要素）である; したがって、$r+r0=r$、そして、$r0=-r+r+r0=-r+r=0$。

特に、$0^2=00=0$。

$0^m=0$と仮定して、$0^{m+1}=0^{m}0=0^2=0$。

したがって、インダクションプリンシプル（数学的帰納法）によって、$0^n=0$。

ステップ2:

$\alpha \in R_{0,n}$は任意であるとしよう。

${\alpha }^n=0$。

$n=1$である時、${\alpha }^1=\alpha =0$。

これ以降、$1<n$であると仮定しよう。

$\alpha \ne 0$であったと仮定しよう。すると、あるマルチプリカティブ（ 乗法）インバース（逆）${\alpha }^{-1}\in F$があることになる。${\alpha }^{n-1}={\alpha }^n{\alpha }^{-1}=0{\alpha }^{-1}=0$。$n-1=1$である時は、${\alpha }^{n-1}=\alpha =0$、矛盾。そうでなければ、${\alpha }^{n-2}=0$、同様に。$n-2=1$である時は、$\alpha =0$、矛盾。そうでなければ、...、等々。いずれにせよ、そのうちに、$\alpha =0$、矛盾。

したがって、$\alpha =0$。

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参考資料

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