フィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）、非コンスタント（定数）ポリノミアル（多項式）に対して、もしも、ポリノミアル（多項式）のフィールド（体）要素における評価が0である場合、そしてその場合に限って、ポリノミアル（多項式）はx - 要素を因子化できることの記述/証明
話題
About: リング（環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コミュータティブ（可換）リング（環）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）の定義を知っている。
- 読者は、フィールド（体）の定義を知っている。
- 読者は、任意のフィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）はユークリディアンドメインであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のフィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）、任意の非コンスタント（定数）ポリノミアル（多項式）に対して、もしも、当該ポリノミアル（多項式）のあるフィールド（体）要素における評価が0である場合、そしてその場合に限って、当該ポリノミアル（多項式）はx - 当該要素を因子化できるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(F [x]\): \(= F \text{ 上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環） }\)
\(p (x)\): \(\in F [x]\)
\(\alpha\): \(\in F\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(p (\alpha) = 0\)
\(\iff\)
\(\exists q (x) \in F [x] (p (x) = (x - \alpha) q (x))\)
//
2: 証明
全体戦略: \(F [x]\)はユークリディアンドメインであるという事実を用いる; ステップ1: \(p (\alpha) = 0\)であると仮定し、\(p (x)\)を\(= (x - \alpha) q (x) + r (x)\)として表現し、\(r (x) = 0\)であることを見る; ステップ2: \(p (x) = (x - \alpha) q (x)\)であると仮定し、\(p (\alpha) = 0\)であることを見る。
ステップ1:
\(p (\alpha) = 0\)であると仮定しよう。
\(F [x]\)は、ユークリディアンドメインである、サイズファンクション（関数）をポリノミアル（多項式）のディグリー（次元）を取るものとして、任意のフィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）はユークリディアンドメインである、サイズファンクション（関数）をポリノミアル（多項式）のディグリー（次元）を取るものとして、という命題によって。
したがって、\(p (x) = (x - \alpha) q (x) + r (x)\)、ここで、\(r (x)\)は1より小さいディグリー（次元）、したがって、0、を持つ、それが意味するのは、\(r (x) = r\)、あるコンスタント（定数）、であるということ。
\(0 = p (\alpha) = (\alpha - \alpha) q (\alpha) + r = 0 q (\alpha) + r = r\)。
したがって、\(p (x) = (x - \alpha) q (x)\)。
ステップ2:
\(p (x) = (x - \alpha) q (x)\)であると仮定しよう。
\(p (\alpha) = (\alpha - \alpha) q (\alpha) = 0 q (\alpha) = 0\)。
