966: フィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）、非コンスタント（定数）ポリノミアル（多項式）に対して、もしも、ポリノミアル（多項式）のフィールド（体）要素における評価が0である場合、そしてその場合に限って、ポリノミアル（多項式）はx - 要素を因子化できる

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フィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）、非コンスタント（定数）ポリノミアル（多項式）に対して、もしも、ポリノミアル（多項式）のフィールド（体）要素における評価が0である場合、そしてその場合に限って、ポリノミアル（多項式）はx - 要素を因子化できることの記述/証明

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話題

About: リング（環）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、コミュータティブ（可換）リング（環）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）の定義を知っている。
• 読者は、フィールド（体）の定義を知っている。
• 読者は、任意のフィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）はユークリディアンドメインであるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のフィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）、任意の非コンスタント（定数）ポリノミアル（多項式）に対して、もしも、当該ポリノミアル（多項式）のあるフィールド（体）要素における評価が0である場合、そしてその場合に限って、当該ポリノミアル（多項式）はx - 当該要素を因子化できるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$F[x]$: $=F\text{ 上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環） }$
$p(x)$: $\in F[x]$
$\alpha$: $\in F$
//

ステートメント（言明）たち:
$p(\alpha )=0$
$⟺$
$\mathrm{\exists }q(x)\in F[x](p(x)=(x-\alpha )q(x))$
//

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2: 証明

全体戦略: $F[x]$はユークリディアンドメインであるという事実を用いる; ステップ1: $p(\alpha )=0$であると仮定し、$p(x)$を$=(x-\alpha )q(x)+r(x)$として表現し、$r(x)=0$であることを見る; ステップ2: $p(x)=(x-\alpha )q(x)$であると仮定し、$p(\alpha )=0$であることを見る。

ステップ1:

$p(\alpha )=0$であると仮定しよう。

$F[x]$は、ユークリディアンドメインである、サイズファンクション（関数）をポリノミアル（多項式）のディグリー（次元）を取るものとして、任意のフィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）はユークリディアンドメインである、サイズファンクション（関数）をポリノミアル（多項式）のディグリー（次元）を取るものとして、という命題によって。

したがって、$p(x)=(x-\alpha )q(x)+r(x)$、ここで、$r(x)$は1より小さいディグリー（次元）、したがって、0、を持つ、それが意味するのは、$r(x)=r$、あるコンスタント（定数）、であるということ。

$0=p(\alpha )=(\alpha -\alpha )q(\alpha )+r=0q(\alpha )+r=r$。

したがって、$p(x)=(x-\alpha )q(x)$。

ステップ2:

$p(x)=(x-\alpha )q(x)$であると仮定しよう。

$p(\alpha )=(\alpha -\alpha )q(\alpha )=0q(\alpha )=0$。

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参考資料

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