グループ（群）、2つのコミュータティブ（可換）要素たちで異なるオーダーたちを持つものたちに対して、2要素たちのマルチプリケーション（積）のオーダーはオーダーたちの最小公倍であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）の要素のオーダーの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）、任意の2つのコミュータティブ（可換）要素たちで任意の異なるオーダーたちを持つものたちに対して、当該2要素たちのマルチプリケーション（積）のオーダーは当該オーダーたちの最小公倍であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(g_1\): \(\in G\), with \(\vert (g_1) \vert = n_1\)、ここで、\(n_1 \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(g_2\): \(\in G\), with \(\vert (g_2) \vert = n_2\)、ここで、\(n_2 \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(g_1 g_2 = g_2 g_1\)
\(\land\)
\(n_1 \lt n_2\)
)
\(\implies\)
\(\vert (g_1 g_2) \vert = lcm (n_1, n_2)\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(l := lcm (n_1, n_2) = n_1 m_1 = n_2 m_2\)とする、ここで、\(gcd (m_1, m_2) = 1\); ステップ2: \((g_1 g_2)^l = 1\)であることを見、\(n := \vert (g_1 g_2) \vert\)は\(l\)のディバイザー（因子）であることを見る; ステップ3: \(n \lt l\)であったと仮定し、\(n\)は\(n_1\)と\(n_2\)の公約であったことを見、\(n_j = n n'_j\)とし、\(((g_1 g_2)^n)^{n'_1} = 1\)から矛盾を見つける。
ステップ1:
\(l := lcm (n_1, n_2) = n_1 m_1 = n_2 m_2\)としよう。
\(gcd (m_1, m_2) = 1\)、なぜなら、そうでなければ、\(n_1 m_1 / gcd (m_1, m_2) = n_2 m_2 / gcd (m_1, m_2)\)がより小さな公倍だということになる。
ステップ2:
\((g_1 g_2)^l = g_1^l g_2^l\)、なぜなら、\(g_1 g_2 = g_2 g_1\)、\( = g_1^{n_1 m_1} g_2^{n_2 m_2} = (g_1^{n_1})^{m_1} (g_2^{n_2})^{m_2} = 1^{m_1} 1^{m_2} = 1 1 = 1\)。
したがって、\(n := \vert (g_1 g_2) \vert\)は\(l\)のディバイザー（因子）である。
ステップ3:
\(n \lt l\)であったと仮定しよう。
\(n\)は\(n_1\)と\(n_2\)の公約だということになる、なぜなら、\(gcd (m_1, m_2) = 1\)。
したがって、\(n_1 = n n'_1\)および\(n_2 = n n'_2\)としよう。
\(((g_1 g_2)^n)^{n'_1} = 1^{n'_1} = 1\)、しかし、\(((g_1 g_2)^n)^{n'_1} = (g_1 g_2)^{n n'_1} = (g_1 g_2)^{n_1} = g_1^{n_1} g_2^{n_1} = 1 g_2^{n_1} = g_2^{n_1}\)。
したがって、\(g_2^{n_1} = 1\)、それは、\(\vert (g_2) \vert = n_2\)に反する矛盾である、なぜなら、\(n_1 \lt n_2\)。
したがって、\(n = l\)。
3: 注
\(n_1 = n_2\)である時、\(\vert (g_1 g_2) \vert\)は\(lcm (n_1, n_2)\)に等しくないかもしれない: 反例として、\(g_1 = g_2\)および\(n_1 = n_2 = 4\)、すると、\(g_1 g_2 = g_1^2\)、そして、\((g_1 g_2)^2 = (g_1^2)^2 = g_1^4 = 1\)、したがって、\(\vert (g_1 g_2) \vert = 2 \neq lcm (4, 4) = 4\)。
