953: グループ（群）、2つのコミュータティブ（可換）要素たちで異なるオーダーたちを持つものたちに対して、2要素たちのマルチプリケーション（積）のオーダーはオーダーたちの最小公倍である|T.B.P.日本語版

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グループ（群）、2つのコミュータティブ（可換）要素たちで異なるオーダーたちを持つものたちに対して、2要素たちのマルチプリケーション（積）のオーダーはオーダーたちの最小公倍であることの記述/証明

話題

About: グループ（群）

この記事の目次

開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
オリエンテーション
本体
1: 構造化された記述
2: 証明
3: 注

開始コンテキスト

読者は、グループ（群）の要素のオーダーの定義を知っている。

ターゲットコンテキスト

読者は、任意のグループ（群）、任意の2つのコミュータティブ（可換）要素たちで任意の異なるオーダーたちを持つものたちに対して、当該2要素たちのマルチプリケーション（積）のオーダーは当該オーダーたちの最小公倍であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:

G

\in {全てのグループ（群）たち}

g_{1}

\in G

, with

| (g_{1}) | = n_{1}

、ここで、

n_{1} \in N ∖ {0}

g_{2}

\in G

, with

| (g_{2}) | = n_{2}

、ここで、

n_{2} \in N ∖ {0}

//

ステートメント（言明）たち:
(

g_{1} g_{2} = g_{2} g_{1}

\land

n_{1} < n_{2}

)

⟹

| (g_{1} g_{2}) | = l c m (n_{1}, n_{2})

2: 証明

全体戦略: ステップ1:

l := l c m (n_{1}, n_{2}) = n_{1} m_{1} = n_{2} m_{2}

とする、ここで、

g c d (m_{1}, m_{2}) = 1

; ステップ2:

(g_{1} g_{2})^{l} = 1

であることを見、

n := | (g_{1} g_{2}) |

は

l

のディバイザー（因子）であることを見る; ステップ3:

n < l

であったと仮定し、

n

は

n_{1}

と

n_{2}

の公約であったことを見、

n_{j} = n n_{j}^{'}

とし、

((g_{1} g_{2})^{n})^{n_{1}^{'}} = 1

から矛盾を見つける。

ステップ1:

l := l c m (n_{1}, n_{2}) = n_{1} m_{1} = n_{2} m_{2}

としよう。

g c d (m_{1}, m_{2}) = 1

、なぜなら、そうでなければ、

n_{1} m_{1} / g c d (m_{1}, m_{2}) = n_{2} m_{2} / g c d (m_{1}, m_{2})

がより小さな公倍だということになる。

ステップ2:

(g_{1} g_{2})^{l} = g_{1}^{l} g_{2}^{l}

、なぜなら、

g_{1} g_{2} = g_{2} g_{1}

、

= g_{1}^{n_{1} m_{1}} g_{2}^{n_{2} m_{2}} = (g_{1}^{n_{1}})^{m_{1}} (g_{2}^{n_{2}})^{m_{2}} = 1^{m_{1}} 1^{m_{2}} = 11 = 1

。

したがって、

n := | (g_{1} g_{2}) |

は

l

のディバイザー（因子）である。

ステップ3:

n < l

であったと仮定しよう。

n

は

n_{1}

と

n_{2}

の公約だということになる、なぜなら、

g c d (m_{1}, m_{2}) = 1

。

したがって、

n_{1} = n n_{1}^{'}

および

n_{2} = n n_{2}^{'}

としよう。

((g_{1} g_{2})^{n})^{n_{1}^{'}} = 1^{n_{1}^{'}} = 1

、しかし、

((g_{1} g_{2})^{n})^{n_{1}^{'}} = (g_{1} g_{2})^{n n_{1}^{'}} = (g_{1} g_{2})^{n_{1}} = g_{1}^{n_{1}} g_{2}^{n_{1}} = 1 g_{2}^{n_{1}} = g_{2}^{n_{1}}

。

したがって、

g_{2}^{n_{1}} = 1

、それは、

| (g_{2}) | = n_{2}

に反する矛盾である、なぜなら、

n_{1} < n_{2}

。

したがって、

n = l

。

3: 注

n_{1} = n_{2}

である時、

| (g_{1} g_{2}) |

は

l c m (n_{1}, n_{2})

に等しくないかもしれない: 反例として、

g_{1} = g_{2}

および

n_{1} = n_{2} = 4

、すると、

g_{1} g_{2} = g_{1}^{2}

、そして、

(g_{1} g_{2})^{2} = (g_{1}^{2})^{2} = g_{1}^{4} = 1

、したがって、

| (g_{1} g_{2}) | = 2 \neq l c m (4, 4) = 4

。

参考資料

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2025年1月19日日曜日