2つのリング（環）たちでそれらの間にマルチプリケーション（積）たちを維持するバイジェクション（全単射）があるものたちに対して、もしも、ドメイン（定義域）がフィールド（体）である場合、コドメイン（余域）はフィールド（体）であることの記述/証明
話題
About: リング（環）
About: フィールド（体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リング（環）の定義を知っている。
- 読者は、バイジェクション（全単射）の定義を知っている。
- 読者は、フィールド（体）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の2つのリング（環）たちでそれらの間にマルチプリケーション（積）たちを維持する任意のバイジェクション（全単射）があるものたちに対して、もしも、ドメイン（定義域）がフィールド（体）である場合、コドメイン（余域）はフィールド（体）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R_1\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\(R_2\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\(f\): \(: R_1 \to R_2\), \(\in \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(f (1) = 1 \land \forall r_1, r'_1 \in R_1 (f (r_1 r'_1) = f (r_1) f (r'_1))\)
\(\land\)
\(R_1 \in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
)
\(\implies\)
\(R_2 \in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
//
2: 注
\(f\)は、'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）またはリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）である（もしくは、そう確認される）必要はない、なぜなら、"証明"は、バイジェクティブ（全単射）性および順方向におけるマルチプリケーション（積）たちの維持のみを使用する。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: インバース（逆）\(f^{-1}: R_2 \to R_1\)を取る; ステップ2: \(R_2\)はコミュータティブ（可換）であることを見る; ステップ3: \(R_2\)の各要素はインバース（逆）を持つことを見る; ステップ4: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(f\)はバイジェクティブ（全単射）であるから、インバース（逆）\(f^{-1}: R_2 \to R_1\)がある。
ステップ2:
\(R_2\)はコミュータティブ（可換）であることを見よう。
\(r_2, r'_2 \in R_2\)は任意としよう。
\(R_1\)はフィールド（体）であるから、\(R_1\)はコミュータティブ（可換）である。
したがって、\(f^{-1} (r_2) f^{-1} (r'_2) = f^{-1} (r'_2) f^{-1} (r_2)\)。
\(f (f^{-1} (r_2) f^{-1} (r'_2)) = f (f^{-1} (r'_2) f^{-1} (r_2))\)。
しかし、\(f (f^{-1} (r_2) f^{-1} (r'_2)) = f (f^{-1} (r_2)) f (f^{-1} (r'_2)) = r_2 r'_2\)および\(f (f^{-1} (r'_2) f^{-1} (r_2)) = f (f^{-1} (r'_2)) f (f^{-1} (r_2)) = r'_2 r_2\)。
したがって、\(r_2 r'_2 = r'_2 r_2\)。
ステップ3:
\(R_2\)の各要素はあるインバース（逆）を持つことを見よう。
\(r_2 \in R_2\)は任意としよう。
\(R_1\)はフィールド（体）であるから、\(f^{-1} (r_2)\)はインバース（逆）\(r_1\)を持つ。
\(f^{-1} (r_2) r_1 = r_1 f^{-1} (r_2) = 1\)。
\(f (f^{-1} (r_2) r_1) = f (r_1 f^{-1} (r_2)) = f (1) = 1\)。
しかし、\(f (f^{-1} (r_2) r_1) = f (f^{-1} (r_2)) f (r_1) = r_2 f (r_1)\)および\(f (r_1 f^{-1} (r_2)) = f (r_1) f (f^{-1} (r_2)) = f (r_1) r_2\)。
したがって、\(r_2 f (r_1) = f (r_1) r_2 = 1\)。
それが意味するのは、\(f (r_1)\)は\(r_2\)のインバース（逆）であるということ。
ステップ4:
したがって、\(R_2\)はコミュータティブ（可換）リング（環）でその各要素がインバース（逆）を持つものである、それが意味するのは、\(R_2\)はフィールド（体）であるということ。
