2025年1月19日日曜日

954: 2つのリング（環）たちでそれらの間にマルチプリケーション（積）たちを維持するバイジェクション（全単射）があるものたちに対して、もしも、ドメイン（定義域）がフィールド（体）である場合、コドメイン（余域）はフィールド（体）である

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2つのリング（環）たちでそれらの間にマルチプリケーション（積）たちを維持するバイジェクション（全単射）があるものたちに対して、もしも、ドメイン（定義域）がフィールド（体）である場合、コドメイン（余域）はフィールド（体）であることの記述/証明

話題


About: リング（環）
About: フィールド（体）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意の2つのリング（環）たちでそれらの間にマルチプリケーション（積）たちを維持する任意のバイジェクション（全単射）があるものたちに対して、もしも、ドメイン（定義域）がフィールド（体）である場合、コドメイン（余域）はフィールド（体）であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
R1: ∈{ 全てのリング（環）たち }
R2: ∈{ 全てのリング（環）たち }
f: :R1→R2, ∈{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }
//

ステートメント（言明）たち:
(
f(1)=1∧∀r1,r1′∈R1(f(r1r1′)=f(r1)f(r1′))
∧
R1∈{ 全てのフィールド（体）たち }
)
⟹
R2∈{ 全てのフィールド（体）たち }
//

2: 注


fは、'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）またはリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）である（もしくは、そう確認される）必要はない、なぜなら、"証明"は、バイジェクティブ（全単射）性および順方向におけるマルチプリケーション（積）たちの維持のみを使用する。

3: 証明


全体戦略: ステップ1: インバース（逆）f−1:R2→R1を取る; ステップ2: R2はコミュータティブ（可換）であることを見る; ステップ3: R2の各要素はインバース（逆）を持つことを見る; ステップ4: 本命題を結論する。

ステップ1:

fはバイジェクティブ（全単射）であるから、インバース（逆）f−1:R2→R1がある。

ステップ2:

R2はコミュータティブ（可換）であることを見よう。

r2,r2′∈R2は任意としよう。

R1はフィールド（体）であるから、R1はコミュータティブ（可換）である。

したがって、f−1(r2)f−1(r2′)=f−1(r2′)f−1(r2)。

f(f−1(r2)f−1(r2′))=f(f−1(r2′)f−1(r2))。

しかし、f(f−1(r2)f−1(r2′))=f(f−1(r2))f(f−1(r2′))=r2r2′およびf(f−1(r2′)f−1(r2))=f(f−1(r2′))f(f−1(r2))=r2′r2。

したがって、r2r2′=r2′r2。

ステップ3:

R2の各要素はあるインバース（逆）を持つことを見よう。

r2∈R2は任意としよう。

R1はフィールド（体）であるから、f−1(r2)はインバース（逆）r1を持つ。

f−1(r2)r1=r1f−1(r2)=1。

f(f−1(r2)r1)=f(r1f−1(r2))=f(1)=1。

しかし、f(f−1(r2)r1)=f(f−1(r2))f(r1)=r2f(r1)およびf(r1f−1(r2))=f(r1)f(f−1(r2))=f(r1)r2。

したがって、r2f(r1)=f(r1)r2=1。

それが意味するのは、f(r1)はr2のインバース（逆）であるということ。

ステップ4:

したがって、R2はコミュータティブ（可換）リング（環）でその各要素がインバース（逆）を持つものである、それが意味するのは、R2はフィールド（体）であるということ。

参考資料
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