4-シンメトリックグループ（対称群）に対して、4-オルタネイティンググループ（交代群）がオーダー12を持つ唯一のサブグループ（部分群）であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、4-シンメトリックグループ（対称群）に対して、4-オルタネイティンググループ（交代群）がオーダー12を持つ唯一のサブグループ（部分群）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S_4\): \(= \text{ } 4 \text{ -シンメトリックグループ（対称群） }\)
\(A_4\): \(= \text{ the } 4 \text{ -オルタネイティンググループ（交代群） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\{S_4 \text{ の全てのサブグループ（部分群）たち } \text{ でオーダー12を持つもの }\} = \{A_4\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(A_4\)は\(S_4\)のサブグループ（部分群）でオーダー12を持つものであることを見る; ステップ2: \(S_4\)は、\(1\)、6個の2-サイクル（巡回置換）たち、8個の3-サイクル（巡回置換）たち、6個の4-サイクル（巡回置換）たち、ディスジョイント（互いに素な）2-サイクル（巡回置換）たちの3個のプロダクトたち、から成る; ステップ3: オーダー12の任意のサブグループ（部分群）は3個の4-サイクル（巡回置換）たちを持てないことを見る; ステップ4: オーダー12の任意のサブグループ（部分群）は2個だけの4-サイクル（巡回置換）たちを持てないことを見る; ステップ5: オーダー12のあるサブグループ（部分群）は4-サイクル（巡回置換）を持たないと仮定し、当該サブグループ（部分群）は2-サイクル（巡回置換）を持てないことを見る。
ステップ1:
\(A_4\)は\(S_4\)のサブグループ（部分群）である: n-オルタネイティンググループ（交代群）の定義の "注"を参照。
\(\vert S_4 \vert = 4! = 24\)。\(\vert A_4 \vert = \vert S_4 \vert / 2 = 24 / 2 = 12\)、任意のファイナイト（有限）要素たちの任意のシーケンス（列）に対して、パーミュテーション（並べ替え）たちのセット（集合）は同一数の偶パーミュテーション（並べ替え）たちと奇パーミュテーション（並べ替え）たちを持つという命題によって。
ステップ2:
\(S_4\)は、\(1\)、6個の2-サイクル（巡回置換）たち、8個の3-サイクル（巡回置換）たち、6個の4-サイクル（巡回置換）たち、ディスジョイント（互いに素な）2-サイクル（巡回置換）たちの3個のプロダクトたち、から成る: \(6 = 4 * 3 / 2\); \(8 = 4 * 3 * 2 / 3\); \(6 = 4 * 3 * 2 * 1 / 4\); \(3 = 4 * 3 / 2 / 2\): \((a, b) (c, d)\)というタイプの要素たちを数えるには、\((a, b)\)たちは\(4 * 3 / 2\)パターンたちを持つ（各\((a, b)\)に対して、\((c, d)\)はユニークに決定される）、しかし、\((a, b) (c, d)\)と\((c, d) (a, b)\) がダブルでカウントされている、したがって、最後の\( / 2\)が必要。
ステップ3:
これ以降、任意のシンメトリックグループ（対称群）上のサイクル（巡回置換）たちのいくつかのマルチプリケーション（積）たちに関するあるメモが使われる。
あるサブグループ（部分群）でオーダー12を持つが\(A_4\)でないものがあったと仮定しよう。
それが意味するのは、当該サブグループ（部分群）は少なくとも1個の奇パーミュテーション（並べ替え）を包含していたということ。
奇パーミュテーション（並べ替え）たちは、6個の2-サイクル（巡回置換）たちおよび6個の4-サイクル（巡回置換）たちである: 例えば、\((1, 2, 3, 4) = (2, 3) (3, 4) (1, 4)\)。
当該サブグループ（部分群）は3個の4-サイクル（巡回置換）たちを持てないことを見よう。
当該サブグループ（部分群）は3個の4-サイクル（巡回置換）たちを持っていたと仮定し、矛盾を見つけよう。
\((1, 2, 3, 4)\)が当該サブグループ（部分群）内の第1の4-サイクル（巡回置換）であるとしよう: \((1, 2, 4, 3)\)のような他のケースを考慮する必要はない、なぜなら、それは、単に\(\{1, 2, 3, 4\}\)の要素たちの名前たちを変えただけである: 重要なのは、第1の4-サイクル（巡回置換）と第3の4-サイクル（巡回置換）の間の関係であり（第2の4-サイクル（巡回置換）は自動的に決定される、下で見られるとおり）第1の4-サイクル（巡回置換）が何かではない。
当該サブグループ（部分群）は、\(\{1, (1, 2, 3, 4), (1, 2, 3, 4)^2 = (1, 3) (2, 4), (1, 2, 3, 4)^3 = (1, 4, 3, 2)\}\)を持っていた。
当該サブグループ（部分群）は、不可避に第2の4-サイクル（巡回置換）\((1, 4, 3, 2)\)を持っていたことになる。
当該サブグループ（部分群）は第3の4-サイクル（巡回置換）を持ち得ないことを見よう。
考慮するべきケースたちは、第3の4-サイクル（巡回置換）は\((1, 2, 4, 3)\)または\((1, 3, 2, 4)\)であったというものだけである: \((1, 3, 4, 2)\)および\((1, 4, 2, 3)\)は、それぞれ、\((1, 2, 4, 3)\)および\((1, 3, 2, 4)\)ケースたちの含まれる: \((1, 3, 4, 2)^3 = (1, 2, 4, 3)\)および\((1, 4, 2, 3)^3 = (1, 3, 2, 4)\)。
\((1, 2, 4, 3)\)が第3の4-サイクル（巡回置換）であるとしよう。
当該サブグループ（部分群）は、\(\{1, (1, 2, 4, 3), (1, 2, 4, 3)^2 = (1, 4) (2, 3), (1, 2, 4, 3)^3 = (1, 3, 4, 2)\}\)を持っていた。
\((1, 2, 3, 4) (1, 2, 4, 3) = (1, 3, 2)\)。
したがって、当該サブグループ（部分群）は、\(\{1, (1, 3, 2), (1, 3, 2)^2 = (1, 2, 3)\}\)を持っていた。
\((1, 2, 4, 3) (1, 2, 3, 4) = (1, 4, 2)\)。
したがって、当該サブグループ（部分群）は、\(\{1, (1, 4, 2), (1, 4, 2)^2 = (1, 2, 4)\}\)を持っていた。
\((1, 4, 2) (1, 3) (2, 4) = (1, 3, 4)\)。
したがって、当該サブグループ（部分群）は、\(\{1, (1, 3, 4), (1, 3, 4)^2 = (1, 4, 3)\}\)を持っていた。
したがって、当該サブグループ（部分群）は、\(12\)個より多くの要素たちを持っていた。
\((1, 3, 2, 4)\)が第3の4-サイクル（巡回置換）であるとしよう。
当該サブグループ（部分群）は、\(\{1, (1, 3, 2, 4), (1, 3, 2, 4)^2 = (1, 2) (3, 4), (1, 3, 2, 4)^3 = (1, 4, 2, 3)\}\)を持っていた。
\((1, 2, 3, 4) (1, 3, 2, 4) = (1, 4, 2)\)。
したがって、当該サブグループ（部分群）は、\(\{1, (1, 4, 2), (1, 4, 2)^2 = (1, 2, 4)\}\)を持っていた。
\((1, 3, 2, 4) (1, 2, 3, 4) = (1, 4, 3)\)。
したがって、当該サブグループ（部分群）は、\(\{1, (1, 4, 3), (1, 4, 3)^2 = (1, 3, 4)\}\)を持っていた。
\((1, 4, 3) (1, 3) (2, 4) = (2, 3, 4)\)。
したがって、当該サブグループ（部分群）は、\(\{1, (2, 3, 4), (2, 3, 4)^2 = (2, 4, 3)\}\)を持っていた。
したがって、当該サブグループ（部分群）は、\(12\)より多くの要素たちを持っていた。
したがって、当該サブグループ（部分群）は、2個より多くの4-サイクル（巡回置換）たちを持てない: 可能な選択肢たちは、当該サブグループ（部分群）は4-サイクル（巡回置換）を持たないか2個だけの4-サイクル（巡回置換）たちを持つかである。
ステップ4:
当該サブグループ（部分群）は、2個だけの4-サイクル（巡回置換）たちを持てないことを見よう。
当該サブグループ（部分群）は2個だけの4-サイクル（巡回置換）たちを持っていたと仮定しよう。
\((1, 2, 3, 4)\)が当該サブグループ（部分群）内の第1の4-サイクル（巡回置換）であるとしよう: \((1, 2, 4, 3)\)のような他のケースを考慮する必要はない、なぜなら、それは、単に\(\{1, 2, 3, 4\}\)の要素たちの名前たちを変えただけである。
当該サブグループ（部分群）は、\(\{1, (1, 2, 3, 4), (1, 2, 3, 4)^2 = (1, 3) (2, 4), (1, 2, 3, 4)^3 = (1, 4, 3, 2)\}\)を持っていた。
ステップ4戦略: 当該サブグループ（部分群）内にいることができないものたちを見、それ以外の要素たちだけでは当該サブグループ（部分群）を生成できないことを見る。
\((1, 2)\)は当該サブグループ（部分群）内にいることができない、なぜなら、\((1, 2) (1, 3) (2, 4) = (1, 3, 2, 4)\)、それは、当該サブグループ（部分群）内にいることができない、本ステップの仮定によって。
\((3, 4)\)は当該サブグループ（部分群）内にいることができない、なぜなら、\((3, 4) (1, 3) (2, 4) = (1, 4, 2, 3)\)、それは、当該サブグループ（部分群）内にいることができない、本ステップの仮定によって。
\((1, 2, 3)\)は当該サブグループ（部分群）内にいることができない、なぜなら、\((1, 2, 3) (1, 2, 3, 4) = (1, 3, 4, 2)\)、それは、当該サブグループ（部分群）内にいることができない、本ステップの仮定によって。
\((1, 2, 4)\)は当該サブグループ（部分群）内にいることができない、なぜなら、\((1, 2, 4) (1, 2, 3, 4) = (1, 4, 2, 3)\)、それは、当該サブグループ（部分群）内にいることができない、本ステップの仮定によって。
\((1, 3, 2)\)は当該サブグループ（部分群）内にいることができない、なぜなら、\((1, 3, 2)^2 = (1, 2, 3)\)、それは、当該サブグループ（部分群）内にいないことが既に知られている。
\((1, 4, 3)\)は当該サブグループ（部分群）内にいることができない、なぜなら、\((1, 4, 3) (1, 2, 3, 4) = (1, 2)\)、それは、当該サブグループ（部分群）内にいないことが既に知られている。
\((2, 3, 4)\)は当該サブグループ（部分群）内にいることができない、なぜなら、\((2, 3, 4) (1, 2, 3, 4) = (1, 3, 2, 4)\)、それは、当該サブグループ（部分群）内にいることができない、本ステップの仮定によって。
\((2, 4, 3)\)は当該サブグループ（部分群）内にいることができない、なぜなら、\((2, 4, 3)^2 = (2, 3, 4)\)それは、当該サブグループ（部分群）内にいないことが既に知られている。
したがって、2個の2-サイクル（巡回置換）たちおよび6個の3-サイクル（巡回置換）たちは当該サブグループ（部分群）内にいることができない。
他の4個の4-サイクル（巡回置換）たちも当該サブグループ（部分群）内にいないので、\(2 + 6 + 4 = 12\)要素たちが既に除外されており、他の要素たち全てが当該サブグループ（部分群）内にいる必要がある。
したがって、\((1, 3, 4)\)および\((2, 4)\)は当該サブグループ（部分群）内にいる必要がある、しかし、\((1, 3, 4) (2, 4) = (1, 3, 4, 2)\)、それは、当該サブグループ（部分群）内にいることができない、本ステップの仮定によって。
したがって、当該サブグループ（部分群）は存在しない。
ステップ5:
当該サブグループ（部分群）は4-サイクル（巡回置換）を持たないと仮定しよう。
\((1, 2)\)が当該サブグループ（部分群）内にいたと仮定しよう: \((3, 4)\)のような他のケースを考慮する必要はない、なぜなら、それは、単に\(\{1, 2, 3, 4\}\)の要素たちの名前たちを変えただけである。
当該サブグループ（部分群）内にいることができないものたちを見よう。
\((1, 3, 4)\)は当該サブグループ（部分群）内にいなかった、なぜなら、\((1, 2) (1, 3, 4) = (1, 3, 4, 2)\)、それは、当該サブグループ（部分群）内にいることができない、本ステップの仮定によって。
\((1, 4, 3)\)は当該サブグループ（部分群）内にいなかった、なぜなら、\((1, 2) (1, 4, 3) = (1, 4, 3, 2)\)、それは、当該サブグループ（部分群）内にいることができない、本ステップの仮定によって。
\((2, 3, 4)\)は当該サブグループ（部分群）内にいなかった、なぜなら、\((1, 2) (2, 3, 4) = (1, 2, 3, 4)\)、それは、当該サブグループ（部分群）内にいることができない、本ステップの仮定によって。
\((2, 4, 3)\)は当該サブグループ（部分群）内にいなかった、なぜなら、\((1, 2) (2, 4, 3) = (1, 2, 4, 3)\)、それは、当該サブグループ（部分群）内にいることができない、本ステップの仮定によって。
\((1, 3) (2, 4)\)は当該サブグループ（部分群）内にいなかった、なぜなら、\((1, 2) (1, 3) (2, 4) = (1, 3, 2, 4)\)、それは、当該サブグループ（部分群）内にいることができない、本ステップの仮定によって。
\((1, 4) (2, 3)\)は当該サブグループ（部分群）内にいなかった、なぜなら、\((1, 2) (1, 4) (2, 3) = (1, 4, 2, 3)\)、それは、当該サブグループ（部分群）内にいることができない、本ステップの仮定によって。
したがって、4個の3-サイクル（巡回置換）たちおよびディスジョイント（互いに素）2-サイクル（巡回置換）たちの2個のプロダクトたちが除外された。
6個全ての4-サイクル（巡回置換）たちも除外されたから、\(4 + 2 + 6 = 12\)要素たちが既に除外されており、他の全ての要素たちが当該サブグループ（部分群）内にいる必要がある。
したがって、\((1, 3)\)および\((2, 4)\)は当該サブグループ（部分群）内にいる必要がある、しかし、\((1, 3) (2, 4)\)は当該サブグループ（部分群）内にいることができない。
したがって、2-サイクル（巡回置換）は1つも当該サブグループ（部分群）内にいることができない。
それが意味するのは、奇パーミュテーション（並べ替え）は1つも当該サブグループ（部分群）内にいることができないということ。
したがって、\(A_4\)が、\(S_4\)の唯一のオーダー12サブグループ（部分群）である。
