952: 4-シンメトリックグループ（対称群）に対して、4-オルタネイティンググループ（交代群）がオーダー12を持つ唯一のサブグループ（部分群）である

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4-シンメトリックグループ（対称群）に対して、4-オルタネイティンググループ（交代群）がオーダー12を持つ唯一のサブグループ（部分群）であることの記述/証明

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話題

About: グループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、n-シンメトリックグループ（対称群）の定義を知っている。
• 読者は、n-オルタネイティンググループ（交代群）の定義を知っている。
• 読者は、任意のファイナイト（有限）要素たちの任意のシーケンス（列）に対して、パーミュテーション（並べ替え）たちのセット（集合）は同一数の偶パーミュテーション（並べ替え）たちと奇パーミュテーション（並べ替え）たちを持つという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、4-シンメトリックグループ（対称群）に対して、4-オルタネイティンググループ（交代群）がオーダー12を持つ唯一のサブグループ（部分群）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$S_4$: $=4\text{ -シンメトリックグループ（対称群） }$
$A_4$: $=\text{ the }4\text{ -オルタネイティンググループ（交代群） }$
//

ステートメント（言明）たち:
$\{S_4\text{ の全てのサブグループ（部分群）たち }\text{ でオーダー12を持つもの }\}=\{A_4\}$
//

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2: 証明

全体戦略: ステップ1: $A_4$は$S_4$のサブグループ（部分群）でオーダー12を持つものであることを見る; ステップ2: $S_4$は、$1$、6個の2-サイクル（巡回置換）たち、8個の3-サイクル（巡回置換）たち、6個の4-サイクル（巡回置換）たち、ディスジョイント（互いに素な）2-サイクル（巡回置換）たちの3個のプロダクトたち、から成る; ステップ3: オーダー12の任意のサブグループ（部分群）は3個の4-サイクル（巡回置換）たちを持てないことを見る; ステップ4: オーダー12の任意のサブグループ（部分群）は2個だけの4-サイクル（巡回置換）たちを持てないことを見る; ステップ5: オーダー12のあるサブグループ（部分群）は4-サイクル（巡回置換）を持たないと仮定し、当該サブグループ（部分群）は2-サイクル（巡回置換）を持てないことを見る。

ステップ1:

$A_4$は$S_4$のサブグループ（部分群）である: n-オルタネイティンググループ（交代群）の定義の "注"を参照。

$|S_4|=4!=24$。$|A_4|=|S_4|/2=24/2=12$、任意のファイナイト（有限）要素たちの任意のシーケンス（列）に対して、パーミュテーション（並べ替え）たちのセット（集合）は同一数の偶パーミュテーション（並べ替え）たちと奇パーミュテーション（並べ替え）たちを持つという命題によって。

ステップ2:

$S_4$は、$1$、6個の2-サイクル（巡回置換）たち、8個の3-サイクル（巡回置換）たち、6個の4-サイクル（巡回置換）たち、ディスジョイント（互いに素な）2-サイクル（巡回置換）たちの3個のプロダクトたち、から成る: $6=4\ast 3/2$; $8=4\ast 3\ast 2/3$; $6=4\ast 3\ast 2\ast 1/4$; $3=4\ast 3/2/2$: $(a,b)(c,d)$というタイプの要素たちを数えるには、$(a,b)$たちは$4\ast 3/2$パターンたちを持つ（各$(a,b)$に対して、$(c,d)$はユニークに決定される）、しかし、$(a,b)(c,d)$と$(c,d)(a,b)$ がダブルでカウントされている、したがって、最後の$/2$が必要。

ステップ3:

これ以降、任意のシンメトリックグループ（対称群）上のサイクル（巡回置換）たちのいくつかのマルチプリケーション（積）たちに関するあるメモが使われる。

あるサブグループ（部分群）でオーダー12を持つが$A_4$でないものがあったと仮定しよう。

それが意味するのは、当該サブグループ（部分群）は少なくとも1個の奇パーミュテーション（並べ替え）を包含していたということ。

奇パーミュテーション（並べ替え）たちは、6個の2-サイクル（巡回置換）たちおよび6個の4-サイクル（巡回置換）たちである: 例えば、$(1,2,3,4)=(2,3)(3,4)(1,4)$。

当該サブグループ（部分群）は3個の4-サイクル（巡回置換）たちを持てないことを見よう。

当該サブグループ（部分群）は3個の4-サイクル（巡回置換）たちを持っていたと仮定し、矛盾を見つけよう。

$(1,2,3,4)$が当該サブグループ（部分群）内の第1の4-サイクル（巡回置換）であるとしよう: $(1,2,4,3)$のような他のケースを考慮する必要はない、なぜなら、それは、単に$\{1,2,3,4\}$の要素たちの名前たちを変えただけである: 重要なのは、第1の4-サイクル（巡回置換）と第3の4-サイクル（巡回置換）の間の関係であり（第2の4-サイクル（巡回置換）は自動的に決定される、下で見られるとおり）第1の4-サイクル（巡回置換）が何かではない。

当該サブグループ（部分群）は、$\{1,(1,2,3,4),(1,2,3,4{)}^2=(1,3)(2,4),(1,2,3,4{)}^3=(1,4,3,2)\}$を持っていた。

当該サブグループ（部分群）は、不可避に第2の4-サイクル（巡回置換）$(1,4,3,2)$を持っていたことになる。

当該サブグループ（部分群）は第3の4-サイクル（巡回置換）を持ち得ないことを見よう。

考慮するべきケースたちは、第3の4-サイクル（巡回置換）は$(1,2,4,3)$または$(1,3,2,4)$であったというものだけである: $(1,3,4,2)$および$(1,4,2,3)$は、それぞれ、$(1,2,4,3)$および$(1,3,2,4)$ケースたちの含まれる: $(1,3,4,2{)}^3=(1,2,4,3)$および$(1,4,2,3{)}^3=(1,3,2,4)$。

$(1,2,4,3)$が第3の4-サイクル（巡回置換）であるとしよう。

当該サブグループ（部分群）は、$\{1,(1,2,4,3),(1,2,4,3{)}^2=(1,4)(2,3),(1,2,4,3{)}^3=(1,3,4,2)\}$を持っていた。

$(1,2,3,4)(1,2,4,3)=(1,3,2)$。

したがって、当該サブグループ（部分群）は、$\{1,(1,3,2),(1,3,2{)}^2=(1,2,3)\}$を持っていた。

$(1,2,4,3)(1,2,3,4)=(1,4,2)$。

したがって、当該サブグループ（部分群）は、$\{1,(1,4,2),(1,4,2{)}^2=(1,2,4)\}$を持っていた。

$(1,4,2)(1,3)(2,4)=(1,3,4)$。

したがって、当該サブグループ（部分群）は、$\{1,(1,3,4),(1,3,4{)}^2=(1,4,3)\}$を持っていた。

したがって、当該サブグループ（部分群）は、$12$個より多くの要素たちを持っていた。

$(1,3,2,4)$が第3の4-サイクル（巡回置換）であるとしよう。

当該サブグループ（部分群）は、$\{1,(1,3,2,4),(1,3,2,4{)}^2=(1,2)(3,4),(1,3,2,4{)}^3=(1,4,2,3)\}$を持っていた。

$(1,2,3,4)(1,3,2,4)=(1,4,2)$。

したがって、当該サブグループ（部分群）は、$\{1,(1,4,2),(1,4,2{)}^2=(1,2,4)\}$を持っていた。

$(1,3,2,4)(1,2,3,4)=(1,4,3)$。

したがって、当該サブグループ（部分群）は、$\{1,(1,4,3),(1,4,3{)}^2=(1,3,4)\}$を持っていた。

$(1,4,3)(1,3)(2,4)=(2,3,4)$。

したがって、当該サブグループ（部分群）は、$\{1,(2,3,4),(2,3,4{)}^2=(2,4,3)\}$を持っていた。

したがって、当該サブグループ（部分群）は、$12$より多くの要素たちを持っていた。

したがって、当該サブグループ（部分群）は、2個より多くの4-サイクル（巡回置換）たちを持てない: 可能な選択肢たちは、当該サブグループ（部分群）は4-サイクル（巡回置換）を持たないか2個だけの4-サイクル（巡回置換）たちを持つかである。

ステップ4:

当該サブグループ（部分群）は、2個だけの4-サイクル（巡回置換）たちを持てないことを見よう。

当該サブグループ（部分群）は2個だけの4-サイクル（巡回置換）たちを持っていたと仮定しよう。

$(1,2,3,4)$が当該サブグループ（部分群）内の第1の4-サイクル（巡回置換）であるとしよう: $(1,2,4,3)$のような他のケースを考慮する必要はない、なぜなら、それは、単に$\{1,2,3,4\}$の要素たちの名前たちを変えただけである。

当該サブグループ（部分群）は、$\{1,(1,2,3,4),(1,2,3,4{)}^2=(1,3)(2,4),(1,2,3,4{)}^3=(1,4,3,2)\}$を持っていた。

ステップ4戦略: 当該サブグループ（部分群）内にいることができないものたちを見、それ以外の要素たちだけでは当該サブグループ（部分群）を生成できないことを見る。

$(1,2)$は当該サブグループ（部分群）内にいることができない、なぜなら、$(1,2)(1,3)(2,4)=(1,3,2,4)$、それは、当該サブグループ（部分群）内にいることができない、本ステップの仮定によって。

$(3,4)$は当該サブグループ（部分群）内にいることができない、なぜなら、$(3,4)(1,3)(2,4)=(1,4,2,3)$、それは、当該サブグループ（部分群）内にいることができない、本ステップの仮定によって。

$(1,2,3)$は当該サブグループ（部分群）内にいることができない、なぜなら、$(1,2,3)(1,2,3,4)=(1,3,4,2)$、それは、当該サブグループ（部分群）内にいることができない、本ステップの仮定によって。

$(1,2,4)$は当該サブグループ（部分群）内にいることができない、なぜなら、$(1,2,4)(1,2,3,4)=(1,4,2,3)$、それは、当該サブグループ（部分群）内にいることができない、本ステップの仮定によって。

$(1,3,2)$は当該サブグループ（部分群）内にいることができない、なぜなら、$(1,3,2{)}^2=(1,2,3)$、それは、当該サブグループ（部分群）内にいないことが既に知られている。

$(1,4,3)$は当該サブグループ（部分群）内にいることができない、なぜなら、$(1,4,3)(1,2,3,4)=(1,2)$、それは、当該サブグループ（部分群）内にいないことが既に知られている。

$(2,3,4)$は当該サブグループ（部分群）内にいることができない、なぜなら、$(2,3,4)(1,2,3,4)=(1,3,2,4)$、それは、当該サブグループ（部分群）内にいることができない、本ステップの仮定によって。

$(2,4,3)$は当該サブグループ（部分群）内にいることができない、なぜなら、$(2,4,3{)}^2=(2,3,4)$それは、当該サブグループ（部分群）内にいないことが既に知られている。

したがって、2個の2-サイクル（巡回置換）たちおよび6個の3-サイクル（巡回置換）たちは当該サブグループ（部分群）内にいることができない。

他の4個の4-サイクル（巡回置換）たちも当該サブグループ（部分群）内にいないので、$2+6+4=12$要素たちが既に除外されており、他の要素たち全てが当該サブグループ（部分群）内にいる必要がある。

したがって、$(1,3,4)$および$(2,4)$は当該サブグループ（部分群）内にいる必要がある、しかし、$(1,3,4)(2,4)=(1,3,4,2)$、それは、当該サブグループ（部分群）内にいることができない、本ステップの仮定によって。

したがって、当該サブグループ（部分群）は存在しない。

ステップ5:

当該サブグループ（部分群）は4-サイクル（巡回置換）を持たないと仮定しよう。

$(1,2)$が当該サブグループ（部分群）内にいたと仮定しよう: $(3,4)$のような他のケースを考慮する必要はない、なぜなら、それは、単に$\{1,2,3,4\}$の要素たちの名前たちを変えただけである。

当該サブグループ（部分群）内にいることができないものたちを見よう。

$(1,3,4)$は当該サブグループ（部分群）内にいなかった、なぜなら、$(1,2)(1,3,4)=(1,3,4,2)$、それは、当該サブグループ（部分群）内にいることができない、本ステップの仮定によって。

$(1,4,3)$は当該サブグループ（部分群）内にいなかった、なぜなら、$(1,2)(1,4,3)=(1,4,3,2)$、それは、当該サブグループ（部分群）内にいることができない、本ステップの仮定によって。

$(2,3,4)$は当該サブグループ（部分群）内にいなかった、なぜなら、$(1,2)(2,3,4)=(1,2,3,4)$、それは、当該サブグループ（部分群）内にいることができない、本ステップの仮定によって。

$(2,4,3)$は当該サブグループ（部分群）内にいなかった、なぜなら、$(1,2)(2,4,3)=(1,2,4,3)$、それは、当該サブグループ（部分群）内にいることができない、本ステップの仮定によって。

$(1,3)(2,4)$は当該サブグループ（部分群）内にいなかった、なぜなら、$(1,2)(1,3)(2,4)=(1,3,2,4)$、それは、当該サブグループ（部分群）内にいることができない、本ステップの仮定によって。

$(1,4)(2,3)$は当該サブグループ（部分群）内にいなかった、なぜなら、$(1,2)(1,4)(2,3)=(1,4,2,3)$、それは、当該サブグループ（部分群）内にいることができない、本ステップの仮定によって。

したがって、4個の3-サイクル（巡回置換）たちおよびディスジョイント（互いに素）2-サイクル（巡回置換）たちの2個のプロダクトたちが除外された。

6個全ての4-サイクル（巡回置換）たちも除外されたから、$4+2+6=12$要素たちが既に除外されており、他の全ての要素たちが当該サブグループ（部分群）内にいる必要がある。

したがって、$(1,3)$および$(2,4)$は当該サブグループ（部分群）内にいる必要がある、しかし、$(1,3)(2,4)$は当該サブグループ（部分群）内にいることができない。

したがって、2-サイクル（巡回置換）は1つも当該サブグループ（部分群）内にいることができない。

それが意味するのは、奇パーミュテーション（並べ替え）は1つも当該サブグループ（部分群）内にいることができないということ。

したがって、$A_4$が、$S_4$の唯一のオーダー12サブグループ（部分群）である。

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参考資料

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