949: ベーシス（基底）を持つモジュール（加群）に対して、要素のベーシス（基底）に関するコンポーネントたちセット（集合）はユニークである

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ベーシス（基底）を持つモジュール（加群）に対して、要素のベーシス（基底）に関するコンポーネントたちセット（集合）はユニークであることの記述/証明

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話題

About: モジュール（加群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のベーシス（基底）を持つ任意のモジュール（加群）に対して、任意の要素の当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちセット（集合）はユニークであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$R$: $\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}$
$M$: $\in \{\text{ 全ての }R\text{ モジュール（加群）たち }\}$
$J$: $\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}$
$B$: $=\{b_j|j\in J\}$, $\in \{M\text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}$
$m$: $\in M$, $=\sum _{j\in S}{m}^j{b}_j$、あるファイナイト（有限）$S\subseteq J$および$m^j\ne 0$に対して
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\exists }{S}^{\prime }\in \{J\text{ の全てのファイナイト（有限）サブセット（部分集合）たち }\}(m=\sum _{j\in S^{\prime }}{m}^{\prime j}{b}_j\text{ 、ここで、 }{m}^{\prime j}\ne 0)$
$⟹$
$S^{\prime }=S\wedge \mathrm{\forall }j\in S(m^j=m^{\prime j})$
//

そうした$S$はある、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義によって。

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2: 注

モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義は、直接には、$m$の当該ベーシス（基底）に関する分解がユニークであるように要求しないが、本命題は、当該分解が不可避にユニークであると主張している。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $S\cup S^{\prime }$を取り、$m=\sum _{j\in S\cup S^{\prime }}{\tilde{m}}^j{b}_j=\sum _{j\in S\cup S^{\prime }}{\widetilde{m^{\prime }}}^j{b}_j$とする; ステップ2: ${\tilde{m}}^j-{\widetilde{m^{\prime }}}^j=0$であると結論する。

ステップ1:

$S\cup S^{\prime }$を取ろう。

各$j\in S\cup S^{\prime }$に対して、$j\in S$に対して${\tilde{m}}^j=m^j$で$j\notin S$に対して${\tilde{m}}^j=0$であるとしよう。

すると、$m=\sum _{j\in S\cup S^{\prime }}{\tilde{m}}^j{b}_j$。

各$j\in S\cup S^{\prime }$に対して、$j\in S^{\prime }$に対して${\widetilde{m^{\prime }}}^j=m^{\prime j}$で$j\notin S^{\prime }$に対して${\widetilde{m^{\prime }}}^j=0$であるとしよう。

すると、$m=\sum _{j\in S\cup S^{\prime }}{\widetilde{m^{\prime }}}^j{b}_j$。

ステップ2:

$\sum _{j\in S\cup S^{\prime }}{\tilde{m}}^j{b}_j=\sum _{j\in S\cup S^{\prime }}{\widetilde{m^{\prime }}}^j{b}_j$であるから、$\sum _{j\in S\cup S^{\prime }}{\tilde{m}}^j{b}_j-\sum _{j\in S\cup S^{\prime }}{\widetilde{m^{\prime }}}^j{b}_j=0$、しかし、$=\sum _{j\in S\cup S^{\prime }}({\tilde{m}}^j-{\widetilde{m^{\prime }}}^j)b_j$。

$B$はリニアにインディペンデント（線形独立）であるから、${\tilde{m}}^j-{\widetilde{m^{\prime }}}^j$、各$j\in S\cup S^{\prime }$に対して、したがって、${\tilde{m}}^j={\widetilde{m^{\prime }}}^j$。

ある$j\in S\cup S^{\prime }$に対して${\tilde{m}}^j={\widetilde{m^{\prime }}}^j=0$であると仮定しよう。$j\notin S$および$j\notin S^{\prime }$、それが意味するのは、$j\notin S\cup S^{\prime }$、矛盾。したがって、${\tilde{m}}^j={\widetilde{m^{\prime }}}^j\ne 0$、それが含意するのは、$S=S^{\prime }$。

各$j\in S$に対して、$m^j={\tilde{m}}^j={\widetilde{m^{\prime }}}^j=m^{\prime j}$。

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参考資料

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