ベーシス（基底）を持つモジュール（加群）からモジュール（加群）の中へ、リニアマップ（線形写像）を、ベーシス（基底）をマッピングしマッピングをリニア（線形）に拡張することによって定義できることの記述/証明
話題
About: モジュール（加群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義を知っている。
- 読者は、リニア（線形）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のベーシス（基底）を持つ任意のモジュール（加群）に対して、任意の要素の当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちセット（集合）はユニークであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のベーシス（基底）を持つ任意のモジュール（加群）から任意のモジュール（加群）の中へ、あるリニアマップ（線形写像）を、当該ベーシス（基底）をマッピングしマッピングをリニア（線形）に拡張することによって定義できるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\(M_1\): \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(B\): \(= \{b_j \vert j \in J\}\), \(\in \{M_1 \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}\)
\(M_2\): \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)
\(f\): \(: B \to M_2\)
\(g\): \(: M_1 \to M_2, \sum_{j \in S} m^j b_j \mapsto \sum_{j \in S} m^j f (b_j)\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(g \in \{\text{ 全てのリニアマップ（線形写像）たち }\}\)
//
\(M_2\)はベーシス（基底）を持っている必要はない。
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(g\)はウェルデファインド（妥当に定義されている）であることを見る; ステップ2: \(g\)はリニア（線形）であることを見る。
ステップ1:
\(g\)はウェルデファインド（妥当に定義されている）であることを見よう。
各\(m \in M_1\)は\(m = \sum_{j \in S} m^j b_j\)として表現される、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義によって、それが意味するのは、\(M_1\)の各要素がマッピングされるということ。
当該表現はユニークである、各\(m^j\)が非ゼロであるように要求される時、任意のベーシス（基底）を持つ任意のモジュール（加群）に対して、任意の要素の当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちセット（集合）はユニークであるという命題によって。
それが意味するのは、\(m = \sum_{j \in S} m^j b_j = \sum_{j \in S'} \widetilde{m}^j b_j\)である時、\(S \subseteq S'\)であり、各\(j \in S\)に対して\(\widetilde{m}^j = m^j\)、各\(j \in S' \setminus S\)に対して\(\widetilde{m}^j = 0\)であるということ。
したがって、\(\sum_{j \in S'} \widetilde{m}^j f (b_j) = \sum_{j \in S} \widetilde{m}^j f (b_j) + \sum_{j \in S' \setminus S} \widetilde{m}^j f (b_j) = \sum_{j \in S} m^j f (b_j) + \sum_{j \in S' \setminus S} 0 f (b_j) = \sum_{j \in S} m^j f (b_j)\)、それが意味するのは、結果は表現に依存しないということ。
\(\sum_{j \in S} m^j f (b_j) \in M_2\)。
したがって、\(M_1\)の各要素は\(M_2\)の中へマッピングされ、当該マッピングに曖昧さはない。
ステップ2:
\(g\)は本当にリニア（線形）であることを見よう。
\(m, m' \in M_1\)は任意であるとしよう。\(r, r' \in R\)は任意であるとしよう。
\(m = \sum_{j \in S} m^j b_j\)および\(m' = \sum_{j \in S'} m'^j b_j\)。
\(S \cup S'\)を取ろう。各\(j \in S \cup S'\)に対して、\(j \in S\)に対して\(\widetilde{m}^j = m^j\)で\(j \notin S\)に対して\(\widetilde{m}^j = 0\)としよう。各\(j \in S \cup S'\)に対して、\(j \in S'\)に対して\(\widetilde{m'}^j = m'^j\)で\(j \notin S'\)に対して\(\widetilde{m'}^j = 0\)としよう。
すると、\(m = \sum_{j \in S \cup S'} \widetilde{m}^j b_j\)および\(m' = \sum_{j \in S \cup S'} \widetilde{m'}^j b_j\)。
\(g (r m + r' m') = g (r \sum_{j \in S \cup S'} \widetilde{m}^j b_j + r' \sum_{j \in S \cup S'} \widetilde{m'}^j b_j) = g (\sum_{j \in S \cup S'} (r \widetilde{m}^j + r' \widetilde{m'}^j) b_j) = \sum_{j \in S \cup S'} (r \widetilde{m}^j + r' \widetilde{m'}^j) f (b_j) = r \sum_{j \in S \cup S'} \widetilde{m}^j f (b_j) + r' \sum_{j \in S \cup S'} \widetilde{m'}^j f (b_j) = r g (\sum_{j \in S \cup S'} \widetilde{m}^j b_j) + r' g (\sum_{j \in S \cup S'} \widetilde{m'}^j b_j) = r g (m) + r' g (m')\)。
