2025年1月26日日曜日

975: グループ（群）のサブグループ（部分群）たちのインターセクション（共通集合）はグループ（群）のサブグループ（部分群）である

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グループ（群）のサブグループ（部分群）たちのインターセクション（共通集合）はグループ（群）のサブグループ（部分群）であることの記述/証明

話題


About: グループ（群）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のグループ（群）に対して、当該グループ（群）の任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれない数のサブグループ（部分群）たちのインターセクション（共通集合）は当該グループ（群）のサブグループ（部分群）であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
G′: ∈{ 全てのグループ（群）たち }
S: ⊆{G′ の全てのサブグループ（部分群）たち }
//

ステートメント（言明）たち:
∩S∈{G′ の全てのサブグループ（部分群）たち }
//

2: 証明


全体戦略: ステップ1: ∩Sは、グループ（群）であるための諸要件たちを満たすことを見る。

ステップ1:

アイデンティティ（単位）要素1∈G′に対して、1∈∩S、なぜなら、各G∈Sに対して、1∈G。

任意のg1,g2∈∩Sに対して、g1g2∈∩S、なぜなら、各G∈Sに対して、g1,g2∈G、したがって、各G∈Sに対して、g1g2∈G。

任意のg∈∩Sに対して、g−1∈∩S、なぜなら、各G∈Sに対して、g∈G、したがって、各G∈Sに対して、g−1∈G。

マルチプリケーション（乗法）たちのアソシアティビティ（結合性）は成立する、なぜなら、それは、周囲G′内で成立する。

参考資料
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