グループ（群）のサブグループ（部分群）たちのインターセクション（共通集合）はグループ（群）のサブグループ（部分群）であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）に対して、当該グループ（群）の任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれない数のサブグループ（部分群）たちのインターセクション（共通集合）は当該グループ（群）のサブグループ（部分群）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G'\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(S\): \(\subseteq \{G' \text{ の全てのサブグループ（部分群）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\cap S \in \{G' \text{ の全てのサブグループ（部分群）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\cap S\)は、グループ（群）であるための諸要件たちを満たすことを見る。
ステップ1:
アイデンティティ（単位）要素\(1 \in G'\)に対して、\(1 \in \cap S\)、なぜなら、各\(G \in S\)に対して、\(1 \in G\)。
任意の\(g_1, g_2 \in \cap S\)に対して、\(g_1 g_2 \in \cap S\)、なぜなら、各\(G \in S\)に対して、\(g_1, g_2 \in G\)、したがって、各\(G \in S\)に対して、\(g_1 g_2 \in G\)。
任意の\(g \in \cap S\)に対して、\(g^{-1} \in \cap S\)、なぜなら、各\(G \in S\)に対して、\(g \in G\)、したがって、各\(G \in S\)に対して、\(g^{-1} \in G\)。
マルチプリケーション（乗法）たちのアソシアティビティ（結合性）は成立する、なぜなら、それは、周囲\(G'\)内で成立する。
