2025年1月26日日曜日

976: リング（環）およびサブリング（部分環）たちのセット（集合）に対して、セット（集合）のインターセクション（共通集合）はサブリング（部分環）である

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リング（環）およびサブリング（部分環）たちのセット（集合）に対して、セット（集合）のインターセクション（共通集合）はサブリング（部分環）であることの記述/証明

話題


About: リング（環）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のリング（環）およびサブリング（部分環）たちの任意のセット（集合）に対して、当該セット（集合）のインターセクション（共通集合）はサブリング（部分環）であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
R: ∈{ 全てのリング（環） }
B: ∈{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }
{Rβ|β∈B}: Rβ∈{R の全てのサブリング（部分環）たち }
//

ステートメント（言明）たち:
∩{Rβ|β∈B}∈{R の全てのサブリング（部分環）たち }
//

2: 証明


全体戦略: ステップ1: ∩{Rβ|β∈B}はアディション（加法）の下でアーベリアングループ（群）であることを見る; ステップ2: ∩{Rβ|β∈B}はマルチプリケーション（乗法）の下でモノイドであることを見る; ステップ3: マルチプリケーション（乗法）はアディション（加法）に関してディストリビューティブ（分配的）であることを見る。

ステップ1:

∩{Rβ|β∈B}はアディション（加法）の下でアーベリアングループ（群）であることを見よう。

∩{Rβ|β∈B}はアディション（加法）の下でRのサブグループ（部分群）である、任意のグループ（群）に対して、当該グループ（群）の任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれない数のサブグループ（部分群）たちのインターセクション（共通集合）は当該グループ（群）のサブグループ（部分群）であるという命題によって。

∩{Rβ|β∈B}はアーベリアングループ（群）である、なぜなら、各r1,r2∈∩{Rβ|β∈B}に対して、r1+r2=r2+r1、なぜなら、r1,r2∈Rで、R上でr1+r2=r2+r1。

ステップ2:

∩{Rβ|β∈B}はマルチプリケーション（乗法）の下でモノイドであることを見よう。

∩{Rβ|β∈B}はマルチプリケーション（乗法）の下で閉じている、なぜなら、各r1,r2∈∩{Rβ|β∈B}に対して、r1,r2∈Rβ、各βに対して、したがって、r1r2∈Rβ、各βに対して、したがって、r1r2∈∩{Rβ|β∈B}。

各r1,r2,r3∈∩{Rβ|β∈B}に対して、(r1r2)r3=r1(r2r3)、なぜなら、それは、周囲R上でそうである。

1∈∩{Rβ|β∈B}、なぜなら、1∈Rβ、各βに対して、そして、各r∈∩{Rβ|β∈B}に対して、1r=r1=r、なぜなら、それは、周囲R上でそうである。

ステップ3:

マルチプリケーション（乗法）はアディション（加法）に関してディストリビューティブ（分配的）であることを見よう。

各r1,r2,r3∈∩{Rβ|β∈B}に対して、r1(r2+r3)=(r1r2)+(r1r3)および(r1+r2)r3=(r1r3)+(r2r3)、なぜなら、それは、周囲R上でそうである。

参考資料
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