リング（環）およびサブリング（部分環）たちのセット（集合）に対して、セット（集合）のインターセクション（共通集合）はサブリング（部分環）であることの記述/証明
話題
About: リング（環）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリング（環）およびサブリング（部分環）たちの任意のセット（集合）に対して、当該セット（集合）のインターセクション（共通集合）はサブリング（部分環）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環） }\}\)
\(B\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{R_\beta \vert \beta \in B\}\): \(R_\beta \in \{R \text{ の全てのサブリング（部分環）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\cap \{R_\beta \vert \beta \in B\} \in \{R \text{ の全てのサブリング（部分環）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\cap \{R_\beta \vert \beta \in B\}\)はアディション（加法）の下でアーベリアングループ（群）であることを見る; ステップ2: \(\cap \{R_\beta \vert \beta \in B\}\)はマルチプリケーション（乗法）の下でモノイドであることを見る; ステップ3: マルチプリケーション（乗法）はアディション（加法）に関してディストリビューティブ（分配的）であることを見る。
ステップ1:
\(\cap \{R_\beta \vert \beta \in B\}\)はアディション（加法）の下でアーベリアングループ（群）であることを見よう。
\(\cap \{R_\beta \vert \beta \in B\}\)はアディション（加法）の下で\(R\)のサブグループ（部分群）である、任意のグループ（群）に対して、当該グループ（群）の任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれない数のサブグループ（部分群）たちのインターセクション（共通集合）は当該グループ（群）のサブグループ（部分群）であるという命題によって。
\(\cap \{R_\beta \vert \beta \in B\}\)はアーベリアングループ（群）である、なぜなら、各\(r_1, r_2 \in \cap \{R_\beta \vert \beta \in B\}\)に対して、\(r_1 + r_2 = r_2 + r_1\)、なぜなら、\(r_1, r_2 \in R\)で、\(R\)上で\(r_1 + r_2 = r_2 + r_1\)。
ステップ2:
\(\cap \{R_\beta \vert \beta \in B\}\)はマルチプリケーション（乗法）の下でモノイドであることを見よう。
\(\cap \{R_\beta \vert \beta \in B\}\)はマルチプリケーション（乗法）の下で閉じている、なぜなら、各\(r_1, r_2 \in \cap \{R_\beta \vert \beta \in B\}\)に対して、\(r_1, r_2 \in R_\beta\)、各\(\beta\)に対して、したがって、\(r_1 r_2 \in R_\beta\)、各\(\beta\)に対して、したがって、\(r_1 r_2 \in \cap \{R_\beta \vert \beta \in B\}\)。
各\(r_1, r_2, r_3 \in \cap \{R_\beta \vert \beta \in B\}\)に対して、\((r_1 r_2) r_3 = r_1 (r_2 r_3)\)、なぜなら、それは、周囲\(R\)上でそうである。
\(1 \in \cap \{R_\beta \vert \beta \in B\}\)、なぜなら、\(1 \in R_\beta\)、各\(\beta\)に対して、そして、各\(r \in \cap \{R_\beta \vert \beta \in B\}\)に対して、\(1 r = r 1 = r\)、なぜなら、それは、周囲\(R\)上でそうである。
ステップ3:
マルチプリケーション（乗法）はアディション（加法）に関してディストリビューティブ（分配的）であることを見よう。
各\(r_1, r_2, r_3 \in \cap \{R_\beta \vert \beta \in B\}\)に対して、\(r_1 (r_2 + r_3) = (r_1 r_2) + (r_1 r_3)\)および\((r_1 + r_2) r_3 = (r_1 r_3) + (r_2 r_3)\)、なぜなら、それは、周囲\(R\)上でそうである。
