フロベニウスエンドモーフィズム（自己準同形写像）、コミュータティブ（可換）リング（環）でプライム（素数）キャラクタリスティックを持つものに対する、の定義
話題
About: リング（環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リング（環）のキャラクタリスティックの定義を知っている。
- 読者は、%ストラクチャー（構造）種類名%エンドモーフィズム（自己準同形写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、フロベニウスエンドモーフィズム（自己準同形写像）、コミュータティブ（可換）リング（環）でプライム（素数）キャラクタリスティックを持つものに対する、の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( R\): \(\in \{\text{ 全てのコミュータティブ（可換）リング（環）たち }\}\)で、キャラクタリスティック\(p \in \{\text{ 全てのプライムナンバー（素数）たち }\}\)を持つもの
\(*F\): \(: R \to R, r \mapsto r^p\), \(\in \{\text{ 全てのリング（環）エンドモーフィズム（自己準同形写像）たち }\}\)
//
コンディションたち:
//
2: 注
\(R\)はコミュータティブ（可換）である必要があり、\(p\)はプライム（素数）である必要がある、\(F\)がリング（環）エンドモーフィズム（自己準同形写像）であるために、下で見られるとおり。
\(F\)が本当にリング（環）エンドモーフィズム（自己準同形写像）であることを見よう。
\(r_1, r_2 \in R\)は任意のものであるとしよう。
\(F (0) = 0^p = 0\)。
\(F (r_1 + r_2) = (r_1 + r_2)^p = r_1^p + r_2^p = F (r_1) + F (r_2)\): バイノミアル（2項）定理は任意のコミュータティブ（可換）リング（環）に対して成立する、なぜなら、それは、ディストリビュータビリティ（分配性）とコミュータティビティ（可換性）だけの問題である; したがって、\((r_1 + r_2)^p = \sum_{j \in \{0, ..., p\}} {}_pC_j r_1^{p - j} r_2^j\)、ここで、\({}_pC_j = p! / (j! (p - j)!)\); しかし、各\(j \in \{1, ..., p - 1\}\)に対して、\({}_pC_j\)は\(p\)の倍数である、なぜなら、分母はファクター（因子）として\(p\)を含まない、それは、\(p\)がプライムナンバー（素数）であるから、それが含意するのは、\({}_pC_j r_1^{p - j} r_2^j = 0\): 各\(r \in R\)に対して、\(p \cdot r = p \cdot (1 r) = 1 r + ... + 1 r = (1 + ... + 1) r = (p \cdot 1) r = 0 r = 0\)および\((l p) \cdot r = l \cdot (p \cdot r) = l \cdot 0 = 0\)。
\(F (1) = 1^p = 1\)。
\(F (r_1 r_2) = (r_1 r_2)^p = r_1^p r_2^p = F (r_1) F (r_2)\)、なぜなら、\(R\)はコミュータティブ（可換）である。
