995: フロベニウスエンドモーフィズム（自己準同形写像）、コミュータティブ（可換）リング（環）でプライム（素数）キャラクタリスティックを持つものに対する

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フロベニウスエンドモーフィズム（自己準同形写像）、コミュータティブ（可換）リング（環）でプライム（素数）キャラクタリスティックを持つものに対する、の定義

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話題

About: リング（環）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、リング（環）のキャラクタリスティックの定義を知っている。
• 読者は、%ストラクチャー（構造）種類名%エンドモーフィズム（自己準同形写像）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、フロベニウスエンドモーフィズム（自己準同形写像）、コミュータティブ（可換）リング（環）でプライム（素数）キャラクタリスティックを持つものに対する、の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$R$: $\in \{\text{ 全てのコミュータティブ（可換）リング（環）たち }\}$で、キャラクタリスティック$p\in \{\text{ 全てのプライムナンバー（素数）たち }\}$を持つもの
$\ast F$: $:R\to R,r\mapsto r^p$, $\in \{\text{ 全てのリング（環）エンドモーフィズム（自己準同形写像）たち }\}$
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コンディションたち:
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2: 注

$R$はコミュータティブ（可換）である必要があり、$p$はプライム（素数）である必要がある、$F$がリング（環）エンドモーフィズム（自己準同形写像）であるために、下で見られるとおり。

$F$が本当にリング（環）エンドモーフィズム（自己準同形写像）であることを見よう。

$r_1,r_2\in R$は任意のものであるとしよう。

$F(0)=0^p=0$。

$F(r_1+r_2)=(r_1+r_2{)}^p=r_1^p+r_2^p=F(r_1)+F(r_2)$: バイノミアル（2項）定理は任意のコミュータティブ（可換）リング（環）に対して成立する、なぜなら、それは、ディストリビュータビリティ（分配性）とコミュータティビティ（可換性）だけの問題である; したがって、$(r_1+r_2{)}^p=\sum _{j\in \{0,...,p\}}{}_p{C}_j{r}_1^{p-j}{r}_2^j$、ここで、${}_p{C}_j=p!/(j!(p-j)!)$; しかし、各$j\in \{1,...,p-1\}$に対して、${}_p{C}_j$は$p$の倍数である、なぜなら、分母はファクター（因子）として$p$を含まない、それは、$p$がプライムナンバー（素数）であるから、それが含意するのは、${}_p{C}_j{r}_1^{p-j}{r}_2^j=0$: 各$r\in R$に対して、$p\cdot r=p\cdot (1r)=1r+...+1r=(1+...+1)r=(p\cdot 1)r=0r=0$および$(lp)\cdot r=l\cdot (p\cdot r)=l\cdot 0=0$。

$F(1)=1^p=1$。

$F(r_1{r}_2)=(r_1{r}_2{)}^p=r_1^p{r}_2^p=F(r_1)F(r_2)$、なぜなら、$R$はコミュータティブ（可換）である。

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参考資料

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