オイラーのトーシェントファンクション（関数）の定義
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、オイラーのトーシェントファンクション（関数）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(*\phi\): \(: \mathbb{N} \setminus \{0\} \to \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
//
コンディションたち:
\(\forall n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} (\phi (n) = \vert \{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \vert j \le n \land gcd (n, j) = 1\} \vert)\)
//
2: 注
言い換えると、\(\phi (n)\)は、\(n\)に等しいかそれより小さいポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）たちで\(n\)に対してプライム（素）であるものたちの数である。
実のところ、\(\phi (n)\)は、任意の\(p\)によるn-オーダーシクリックグループ（循環群）\(\langle p \rangle\)の単体要素ジェネレイター（作成元）たちの数である: \(\langle p \rangle = \{p^1, ..., p^n = 1\}\);ある\(p^j\)、ここで、\(1 \le j \le n\)、が、ジェネレイター（作成元）であるためには、\((p^j)^k = 1\)に対して\(n\)がそういう\(k\)の最小のものである; \((p^j)^k = 1\)は\(j k = n m\)を意味するところ、そういう\(k\)の最小のものは、\(n / gcd (n, j)\)である（なぜなら、\(k\)は\(gcd (n, j)\)をファクター（因子）として必要としない、なぜなら、それは既に\(j\)に含まれている、そして、\(k\)は\(n / gcd (n, j)\)ファクター（因子）を必要とする、なぜなら、\(j\)はそれを含まない）、したがって、\(n = n / gcd (n, j)\)、それが意味するのは、\(gcd (n, j) = 1\); したがって、本当に、\(\langle p \rangle\)の単体要素ジェネレイター（作成元）たちの数は\(\vert \{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \vert j \le n \land gcd (n, j) = 1\} \vert) = \phi (n)\)である。
