985: オイラーのトーシェントファンクション（関数）

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

オイラーのトーシェントファンクション（関数）の定義

---

話題

About: セット（集合）

---

この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注

---

開始コンテキスト

• 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。

---

ターゲットコンテキスト

• 読者は、オイラーのトーシェントファンクション（関数）の定義を得る。

---

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

---

本体

---

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$\ast \varphi$: $:\mathbb{N}\setminus \{0\}\to \mathbb{N}\setminus \{0\}$
//

コンディションたち:
$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\setminus \{0\}(\varphi (n)=|\{j\in \mathbb{N}\setminus \{0\}|j\le n\wedge gcd(n,j)=1\}|)$
//

---

2: 注

言い換えると、$\varphi (n)$は、$n$に等しいかそれより小さいポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）たちで$n$に対してプライム（素）であるものたちの数である。

実のところ、$\varphi (n)$は、任意の$p$によるn-オーダーシクリックグループ（循環群）$⟨p⟩$の単体要素ジェネレイター（作成元）たちの数である: $⟨p⟩=\{p^1,...,p^n=1\}$;ある$p^j$、ここで、$1\le j\le n$、が、ジェネレイター（作成元）であるためには、$(p^j{)}^k=1$に対して$n$がそういう$k$の最小のものである; $(p^j{)}^k=1$は$jk=nm$を意味するところ、そういう$k$の最小のものは、$n/gcd(n,j)$である（なぜなら、$k$は$gcd(n,j)$をファクター（因子）として必要としない、なぜなら、それは既に$j$に含まれている、そして、$k$は$n/gcd(n,j)$ファクター（因子）を必要とする、なぜなら、$j$はそれを含まない）、したがって、$n=n/gcd(n,j)$、それが意味するのは、$gcd(n,j)=1$; したがって、本当に、$⟨p⟩$の単体要素ジェネレイター（作成元）たちの数は$|\{j\in \mathbb{N}\setminus \{0\}|j\le n\wedge gcd(n,j)=1\}|)=\varphi (n)$である。

---

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>