986: ポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）はナンバー（数）のディバイザー（因子）たちのオイラーのトーシェントファンクション（関数）結果たちのサム（合計）である

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ポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）はナンバー（数）のディバイザー（因子）たちのオイラーのトーシェントファンクション（関数）結果たちのサム（合計）であることの記述/証明

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、オイラーのトーシェントファンクション（関数）の定義を知っている。
• 読者は、グループ（群）の要素のオーダーの定義を知っている。
• 読者は、ラグランジュの定理を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）は当該ナンバー（数）のディバイザー（因子）たちのオイラーのトーシェントファンクション（関数）結果たちのサム（合計）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$n$: $\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$
$\varphi$: $:\mathbb{N}\setminus \{0\}\to \mathbb{N}\setminus \{0\}$, $=\text{ オイラーのトーシェントファンクション（関数） }$
//

ステートメント（言明）たち:
$n=\sum _{d|n}\varphi (d)$
//

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2: 証明

全体戦略: ステップ1: 任意の$p$によるn-オーダーシクリックグループ（循環群）$⟨p⟩$のことを考える; ステップ2: $⟨p⟩$を要素たちのオーダーたちによって$\{S_d|d|n\}$として分割し、$n=|⟨p⟩|=\sum _{d|n}|S_d|$であることを見る; ステップ3: $|S_d|=\varphi (d)$であることを見る; ステップ4: 本命題を結論する。

ステップ1:

任意の$p$によるn-オーダーシクリックグループ（循環群）$⟨p⟩$のことを考えよう。

$|⟨p⟩|=n$。

ステップ2:

$⟨p⟩$を要素たちのオーダーたちによって$\{S_d|d|n\}$として分割しよう、ここで、$S_d$は$⟨p⟩$のサブセット（部分集合）でその要素たちがオーダー$d$を持つものである。

$⟨p⟩$の各要素は決まったオーダーを持ち、当該オーダーは$n$のディバイザー（因子）である、ラグランジュの定理によって、ので、それは、本当に、$⟨p⟩$の互いに素な分割である。

したがって、$|⟨p⟩|=\sum _{d|n}|S_d|$。

ステップ3:

$|S_d|=\varphi (d)$であることを見よう。

$p^j\in S_d$、ここで、$1\le j\le n$、という事実は、$kj=nm$に対して、$d$がそういう$k$の最小のものであることに他ならない。

しかし、そういう$k$の最小のものは$n/gcd(n,j)$である（なぜなら、$k$は$gcd(n,j)$をファクター（因子）として必要としない、なぜなら、それは既に$j$に含まれている、そして、$k$は$n/gcd(n,j)$ファクター（因子）を必要とする、なぜなら、$j$はそれを含まない）、したがって、$d=n/gcd(n,j)$、それが意味するのは、$n/d=gcd(n,j)$。$d$は$n$のディバイザー（因子）であるので、$n=ld$としよう。したがって、$ld/d=l=gcd(ld,j)$。それが意味するのは、$j$は$l$の倍数であり、$gcd(d,j/l)=1$であること。

$l\le j\le n=ld$であるので、$1\le j/l\le d$および$gcd(d,j/l)=1$。

$|S_d|$はそういう$j$たちのカウントであるから、それはそういう$j/l$たちのカウントである、それは、$\varphi (d)$に他ならない、オイラーのトーシェントファンクション（関数）の定義によって。

したがって、$|S_d|=\varphi (d)$。

ステップ4:

したがって、$n=|⟨p⟩|=\sum _{d|n}|S_d|=\sum _{d|n}\varphi (d)$。

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3: 注

このウィキペディア記事は本証明の要旨について短くふれているが、当該記事は、なぜ、$|S_d|$、$⟨p⟩$内の$d$-オーダー要素たちの数、が、$\varphi (d)$、$C_d$の単体要素ジェネレイター（作成元）たちの数、に等しいかを説明しない: $|S_d|$は$n$に依存するように見える（少なくとも、一見では）のに、なぜ、それは$\varphi (d)$、それは$n$に全然依存しない、に等しいのか？私たちのステップ3はそれを説明した。

実のところ、$|S_d|=\varphi (d)$が成立するのは、私たちはシクリックグループ（循環）$⟨p⟩$について話しているから; 一般的なグループ（群）$G$に対しては、$|S_d|=\varphi (d)$は必ずしも成立しない。

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参考資料

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