984: インテジャー（整数）たちモジュロプライムナンバー（素数）フィールド（体）に対して、要素のプライムナンバー（素数）乗は要素である

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インテジャー（整数）たちモジュロプライムナンバー（素数）フィールド（体）に対して、要素のプライムナンバー（素数）乗は要素であることの記述/証明

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話題

About: フィールド（体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、インテジャー（整数）たちモジュロプライムナンバー（素数）フィールド（体）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のプライムナンバー（素数）に対するインテジャー（整数）たちモジュロプライムナンバー（素数）フィールド（体）に対して、各要素のプライムナンバー（素数）乗は当該要素であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$\mathbb{Z}/p$: $=\text{ 当該インテジャー（整数）たちモジュロプライムナンバー（素数）フィールド（体） }$
$[z]$: $\in \mathbb{Z}/p$
//

ステートメント（言明）たち:
$[z{]}^p=[z]$
//

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2: 証明

全体戦略: ステップ1: 各$[z],[z^{\prime }]\in \mathbb{Z}/p$に対して、$([z]+[z^{\prime }]{)}^p=[z{]}^p+[z^{\prime }{]}^p$であることを見る; ステップ2: それをインダクティブ（数学的帰納的）に証明する。

ステップ1:

各$[z],[z^{\prime }]\in \mathbb{Z}/p$に対して、$([z]+[z^{\prime }]{)}^p=[z{]}^p+[z^{\prime }{]}^p$であることを見よう。

二項定理は任意のコミュータティブ（可換）リング（環）に対して成立する、なぜなら、それは、ディストリビュータティビティ（分配性）およびコミュータティビティ（可換性）だけの問題である。

したがって、$([z]+[z^{\prime }]{)}^p=\sum _{j\in \{0,...,p\}}{}_p{C}_j[z{]}^{p-j}[z^{\prime }{]}^j$、ここで、${}_p{C}_j=p!/(j!(p-j)!)$。しかし、各$j\in \{1,...,p-1\}$に対して、${}_p{C}_j$は$p$の倍数である、なぜなら、分母は$p$をファクター（因子）として含まない、それが含意するのは、${}_p{C}_j[z{]}^{p-j}[z^{\prime }{]}^j=[0]$: 各$[z^{″}]\in \mathbb{Z}/p$に対して、$p[z^{″}]=p[1][z^{″}]=[p][z^{″}]=[0][z^{″}]=[0]$および$lp[z^{″}]=l(p[z^{″}])=l[0]=[0]$。

したがって、$([z]+[z^{\prime }]{)}^p={}_p{C}_0[z{]}^p[z^{\prime }{]}^0+{}_p{C}_p[z{]}^0[z^{\prime }{]}^p=[z{]}^p+[z^{\prime }{]}^p$。

ステップ2:

それをインダクティブ（数学的帰納的）に証明しよう。

$[0{]}^p=[0]$。

各$0\le j\le k-1$に対して$[j{]}^p=[j]$であると仮定しよう。

$[k{]}^p=[k-1+1{]}^p=([k-1]+[1]{)}^p=[k-1{]}^p+[1{]}^p$、ステップ1によって、$=[k-1]+[1]$、インダクション（帰納）仮定によって、$=[k-1+1]=[k]$。

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参考資料

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