インテジャー（整数）たちモジュロプライムナンバー（素数）フィールド（体）に対して、要素のプライムナンバー（素数）乗は要素であることの記述/証明
話題
About: フィールド（体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、インテジャー（整数）たちモジュロプライムナンバー（素数）フィールド（体）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のプライムナンバー（素数）に対するインテジャー（整数）たちモジュロプライムナンバー（素数）フィールド（体）に対して、各要素のプライムナンバー（素数）乗は当該要素であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{Z} / p\): \(= \text{ 当該インテジャー（整数）たちモジュロプライムナンバー（素数）フィールド（体） }\)
\([z]\): \(\in \mathbb{Z} / p\)
//
ステートメント（言明）たち:
\([z]^p = [z]\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\([z], [z'] \in \mathbb{Z} / p\)に対して、\(([z] + [z'])^p = [z]^p + [z']^p\)であることを見る; ステップ2: それをインダクティブ（数学的帰納的）に証明する。
ステップ1:
各\([z], [z'] \in \mathbb{Z} / p\)に対して、\(([z] + [z'])^p = [z]^p + [z']^p\)であることを見よう。
二項定理は任意のコミュータティブ（可換）リング（環）に対して成立する、なぜなら、それは、ディストリビュータティビティ（分配性）およびコミュータティビティ（可換性）だけの問題である。
したがって、\(([z] + [z'])^p = \sum_{j \in \{0, ..., p\}} {}_pC_j [z]^{p - j} [z']^j\)、ここで、\({}_pC_j = p! / (j! (p - j)!)\)。しかし、各\(j \in \{1, ..., p - 1\}\)に対して、\({}_pC_j\)は\(p\)の倍数である、なぜなら、分母は\(p\)をファクター（因子）として含まない、それが含意するのは、\({}_pC_j [z]^{p - j} [z']^j = [0]\): 各\([z''] \in \mathbb{Z} / p\)に対して、\(p [z''] = p [1] [z''] = [p] [z''] = [0] [z''] = [0]\)および\(l p [z''] = l (p [z'']) = l [0] = [0]\)。
したがって、\(([z] + [z'])^p = {}_pC_0 [z]^p [z']^0 + {}_pC_p [z]^0 [z']^p = [z]^p + [z']^p\)。
ステップ2:
それをインダクティブ（数学的帰納的）に証明しよう。
\([0]^p = [0]\)。
各\(0 \le j \le k - 1\)に対して\([j]^p = [j]\)であると仮定しよう。
\([k]^p = [k - 1 + 1]^p = ([k - 1] + [1])^p = [k - 1]^p + [1]^p\)、ステップ1によって、\(= [k - 1] + [1]\)、インダクション（帰納）仮定によって、\(= [k - 1 + 1] = [k]\)。
