ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ベクトルたちスペース（空間）に対するベーシス（基底）たちに関する、コベクトルたちスペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のコベクトルたち（デュアル）スペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）に対する任意のベーシス（基底）たちに関する、コベクトルたちスペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(V^*\): \(= V \text{ のコベクトルたちスペース（空間） }\)
\(B\): \(\in \{V \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}\), \(= \{b_1, ..., b_d\}\)
\(B'\): \(\in \{V \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}\), \(= \{b'_1, ..., b'_d\}\)
\(B^*\): \(= B \text{ のデュアルベーシス（基底） }\), \(= \{b^1, ..., b^d\}\)
\(B'^*\): \(= B' \text{ のデュアルベーシス（基底） }\), \(= \{b'^1, ..., b'^d\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(b'_j = b_k M^k_j\)
\(\implies\)
\(b'^j = {M^{-1}}^j_k b^k\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(b'^j = N^j_k b^k\)としよう; ステップ2: 両辺たちを\(b_l\)へオペレートさせ、\(N^j_k = {M^{-1}}^j_k\)であることを見る。
ステップ1:
\(b'^j = N^j_k b^k\)としよう、それは可能である、なぜなら、\(B^*\)は\(V^*\)に対するベーシス（基底）であり、\(b'^j \in V^*\)である。
ステップ2:
\(b'^j (b_l) = N^j_k b^k (b_l) = N^j_k \delta^k_l = N^j_l\)。
マトリックス（行列）\(M\)はインバース（逆）\(M^{-1}\)を持つ、なぜなら、そうでなければ、\(B'\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）にはならない。
\(b'_j = b_k M^k_j\)から、\(b'_j {M^{-1}}^j_l = b_k M^k_j {M^{-1}}^j_l = b_k \delta^k_l = b_l\)。
したがって、\(N^j_k = b'^j (b_k) = b'^j (b'_l {M^{-1}}^l_k) = {M^{-1}}^l_k b'^j (b'_l) = {M^{-1}}^l_k \delta^j_l = {M^{-1}}^j_k\)。
