1012: ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ベクトルたちスペース（空間）に対するベーシス（基底）たちに関する、コベクトルたちスペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれである

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ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ベクトルたちスペース（空間）に対するベーシス（基底）たちに関する、コベクトルたちスペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであることの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のコベクトルたち（デュアル）スペース（空間）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）に対する任意のベーシス（基底）たちに関する、コベクトルたちスペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$V$: $\in \{\text{ 全ての }d\text{ -ディメンショナル（次元） }F\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$V^{\ast }$: $=V\text{ のコベクトルたちスペース（空間） }$
$B$: $\in \{V\text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}$, $=\{b_1,...,b_d\}$
$B^{\prime }$: $\in \{V\text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}$, $=\{b_1^{\prime },...,b_d^{\prime }\}$
$B^{\ast }$: $=B\text{ のデュアルベーシス（基底） }$, $=\{b^1,...,b^d\}$
$B^{\prime \ast }$: $=B^{\prime }\text{ のデュアルベーシス（基底） }$, $=\{b^{\prime 1},...,b^{\prime d}\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$b_j^{\prime }=b_k{M}_j^k$
$⟹$
$b^{\prime j}={M^{-1}}_k^j{b}^k$
//

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2: 証明

全体戦略: ステップ1: $b^{\prime j}=N_k^j{b}^k$としよう; ステップ2: 両辺たちを$b_l$へオペレートさせ、$N_k^j={M^{-1}}_k^j$であることを見る。

ステップ1:

$b^{\prime j}=N_k^j{b}^k$としよう、それは可能である、なぜなら、$B^{\ast }$は$V^{\ast }$に対するベーシス（基底）であり、$b^{\prime j}\in V^{\ast }$である。

ステップ2:

$b^{\prime j}(b_l)=N_k^j{b}^k(b_l)=N_k^j{\delta }_l^k=N_l^j$。

マトリックス（行列）$M$はインバース（逆）$M^{-1}$を持つ、なぜなら、そうでなければ、$B^{\prime }$はリニア（線形）にインディペンデント（独立）にはならない。

$b_j^{\prime }=b_k{M}_j^k$から、$b_j^{\prime }{M^{-1}}_l^j=b_k{M}_j^k{M^{-1}}_l^j=b_k{\delta }_l^k=b_l$。

したがって、$N_k^j=b^{\prime j}(b_k)=b^{\prime j}(b_l^{\prime }{M^{-1}}_k^l)={M^{-1}}_k^l{b}^{\prime j}(b_l^{\prime })={M^{-1}}_k^l{\delta }_l^j={M^{-1}}_k^j$。

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参考資料

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