1013: フィールド（体）、フィールド（体）上方のk個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち、フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）に対して、ベクトルたちスペース（空間）たちに対するベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれである

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フィールド（体）、フィールド（体）上方の$k$個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち、フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）に対して、ベクトルたちスペース（空間）たちに対するベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであることの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、フィールド（体）、フィールド（体）上方の$k$個のベクトルたちスペース（空間）たちおよびベクトルたちスペース（空間）に関するテンソルたちスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、テンソルたちのテンソルプロダクト（積）の定義を知っている。
• 読者は、任意のフィールド（体）、当該フィールド（体）上方の任意の$k$個のベクトルたちスペース（空間）たちに対して、当該フィールド（体）、当該ベクトルたちスペース（空間）たち、当該フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）は、ベーシス（基底）で当該ベクトルたちスペース（空間）たちの任意のベーシス（基底）たちのデュアルベーシス（基底）たちの全ての要素たちの全てのテンソルプロダクト（積）たちから構成されるものを持つという命題を認めている。
• 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）に対する任意のベーシス（基底）たちに関する、コベクトルたちスペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のフィールド（体）、当該フィールド（体）上方の$k$個の任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち、当該フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）たちに対する任意のベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$\{V_1,...,V_k\}$: $\subseteq \{\text{ 全てのファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元） }F\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$L(V_1,...,V_k:F)$: $=\text{ 当該テンソルたちスペース（空間） }$
$\{B_1,...,B_k\}$: $B_j\in \{V_j\text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}=\{{b_j}_l|1\le l\le dim{V}_j\}$
$\{B_1^{\prime },...,B_k^{\prime }\}$: $B_j^{\prime }\in \{V_j\text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}=\{{b_j^{\prime }}_l|1\le l\le dim{V}_j\}$
$\{B_1^{\ast },...,B_k^{\ast }\}$: $B_j^{\ast }=B_j\text{ のデュアルベーシス（基底） }=\{{b_j}^l|1\le l\le dim{V}_j\}$
$\{B_1^{\prime \ast },...,B_k^{\prime \ast }\}$: $B_j^{\prime \ast }=B_j\text{ のデュアルベーシス（基底） }=\{{b_j^{\prime }}^l|1\le l\le dim{V}_j\}$
$B^{\ast }$: $=\{{b_1}^{j_1}\otimes ...\otimes {b_k}^{j_k}|\mathrm{\forall }l\in \{1,...,k\}(1\le j_l\le dim{V}_l)\}$, $\in \{L(V_1,...,V_k:F)\text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}$
$B^{\prime \ast }$: $=\{{b_1^{\prime }}^{j_1}\otimes ...\otimes {b_k^{\prime }}^{j_k}|\mathrm{\forall }l\in \{1,...,k\}(1\le j_l\le dim{V}_l)\}$, $\in \{L(V_1,...,V_k:F)\text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}$
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ステートメント（言明）たち:
${b_j^{\prime }}_l={b_j}_m{M_j}_l^m$
$⟹$
${b_1^{\prime }}^{j_1}\otimes ...\otimes {b_k^{\prime }}^{j_k}={{M_1}^{-1}}_{l_1}^{j_1}...{{M_k}^{-1}}_{l_k}^{j_k}{b_1}^{l_1}\otimes ...\otimes {b_k}^{l_k}$
//

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2: 証明

全体戦略: ステップ1: $B^{\ast }$および$B^{\prime \ast }$$L(V_1,...,V_k:F)$に対するベーシス（基底）たちであることを見る; ステップ2: ${b_j^{\prime }}^{l_j}={{M_j}^{-1}}_{m_j}^{l_j}{b_j}^{m_j}$であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。

ステップ1:

$B^{\ast }$および$B^{\prime \ast }$は本当に$L(V_1,...,V_k:F)$に対するベーシス（基底）たちである、任意のフィールド（体）、当該フィールド（体）上方の任意のk個のベクトルたちスペース（空間）たちに対して、当該フィールド（体）、当該ベクトルたちスペース（空間）たち、当該フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）は、ベーシス（基底）で当該ベクトルたちスペース（空間）たちの任意のベーシス（基底）たちのデュアルベーシス（基底）たちの全ての要素たちの全てのテンソルプロダクト（積）たちから構成されるものを持つという命題によって。

ステップ2:

${b_j^{\prime }}^{l_j}={{M_j}^{-1}}_{m_j}^{l_j}{b_j}^{m_j}$、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）に対する任意のベーシス（基底）たちに関する、コベクトルたちスペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題によって。

ステップ3:

${b_1^{\prime }}^{j_1}\otimes ...\otimes {b_k^{\prime }}^{j_k}=({{M_1}^{-1}}_{m_1}^{j_1}{b_1}^{m_1})\otimes ...\otimes ({{M_k}^{-1}}_{m_k}^{j_k}{b_k}^{m_k})$。

次の事実に注目する、つまり、一般的に、各$f_j,f_j^{\prime }\in L(V_{j,1},...,V_{j,k_j}:F)$および各$r,r^{\prime }\in F$に対して、$f_1\otimes ...\otimes (r{f}_j+r^{\prime }{f}_j^{\prime })\otimes ...\otimes f_l=r{f}_1\otimes ...\otimes f_j\otimes ...\otimes f_l+r^{\prime }{f}_1\otimes ...\otimes f_j^{\prime }\otimes ...\otimes f_l$: テンソルたちのテンソルプロダクト（積）の定義の"注"を参照のこと。

したがって、$({{M_1}^{-1}}_{m_1}^{j_1}{b_1}^{m_1})\otimes ...\otimes ({{M_k}^{-1}}_{m_k}^{j_k}{b_k}^{m_k})={{M_1}^{-1}}_{m_1}^{j_1}...{{M_k}^{-1}}_{m_k}^{j_k}{b_1}^{m_1}\otimes ...\otimes {b_k}^{m_k}$。

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参考資料

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