フィールド（体）、フィールド（体）上方のk個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち、フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）に対して、ベクトルたちスペース（空間）たちに対するベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、フィールド（体）、フィールド（体）上方のk個のベクトルたちスペース（空間）たちおよびベクトルたちスペース（空間）に関するテンソルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、テンソルたちのテンソルプロダクト（積）の定義を知っている。
- 読者は、任意のフィールド（体）、当該フィールド（体）上方の任意のk個のベクトルたちスペース（空間）たちに対して、当該フィールド（体）、当該ベクトルたちスペース（空間）たち、当該フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）は、ベーシス（基底）で当該ベクトルたちスペース（空間）たちの任意のベーシス（基底）たちのデュアルベーシス（基底）たちの全ての要素たちの全てのテンソルプロダクト（積）たちから構成されるものを持つという命題を認めている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）に対する任意のベーシス（基底）たちに関する、コベクトルたちスペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のフィールド（体）、当該フィールド（体）上方のk個の任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち、当該フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）たちに対する任意のベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれである
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(\{V_1, ..., V_k\}\): \(\subseteq \{\text{ 全てのファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(L (V_1, ..., V_k: F)\): \(= \text{ 当該テンソルたちスペース（空間） }\)
\(\{B_1, ..., B_k\}\): \(B_j \in \{V_j \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\} = \{{b_j}_l \vert 1 \le l \le dim V_j\}\)
\(\{B'_1, ..., B'_k\}\): \(B'_j \in \{V_j \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\} = \{{b'_j}_l \vert 1 \le l \le dim V_j\}\)
\(\{B^*_1, ..., B^*_k\}\): \(B^*_j = B_j \text{ のデュアルベーシス（基底） } = \{{b_j}^l \vert 1 \le l \le dim V_j\}\)
\(\{B'^*_1, ..., B'^*_k\}\): \(B'^*_j = B_j \text{ のデュアルベーシス（基底） } = \{{b'_j}^l \vert 1 \le l \le dim V_j\}\)
\(B^*\): \(= \{{b_1}^{j_1} \otimes ... \otimes {b_k}^{j_k} \vert \forall l \in \{1, ..., k\} (1 \le j_l \le dim V_l)\}\), \(\in \{L (V_1, ..., V_k: F) \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}\)
\(B'^*\): \(= \{{b'_1}^{j_1} \otimes ... \otimes {b'_k}^{j_k} \vert \forall l \in \{1, ..., k\} (1 \le j_l \le dim V_l)\}\), \(\in \{ L (V_1, ..., V_k: F) \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\({b'_j}_l = {b_j}_m {M_j}^m_l\)
\(\implies\)
\({b'_1}^{j_1} \otimes ... \otimes {b'_k}^{j_k} = {{M_1}^{-1}}^{j_1}_{l_1} ... {{M_k}^{-1}}^{j_k}_{l_k} {b_1}^{l_1} \otimes ... \otimes {b_k}^{l_k}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(B^*\)および\(B'^*\)\(L (V_1, ..., V_k: F)\)に対するベーシス（基底）たちであることを見る; ステップ2: \({b'_j}^{l_j} = {{M_j}^{-1}}^{l_j}_{m_j} {b_j}^{m_j}\)であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(B^*\)および\(B'^*\)は本当に\(L (V_1, ..., V_k: F)\)に対するベーシス（基底）たちである、任意のフィールド（体）、当該フィールド（体）上方の任意のk個のベクトルたちスペース（空間）たちに対して、当該フィールド（体）、当該ベクトルたちスペース（空間）たち、当該フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）は、ベーシス（基底）で当該ベクトルたちスペース（空間）たちの任意のベーシス（基底）たちのデュアルベーシス（基底）たちの全ての要素たちの全てのテンソルプロダクト（積）たちから構成されるものを持つという命題によって。
ステップ2:
\({b'_j}^{l_j} = {{M_j}^{-1}}^{l_j}_{m_j} {b_j}^{m_j}\)、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）に対する任意のベーシス（基底）たちに関する、コベクトルたちスペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題によって。
ステップ3:
\({b'_1}^{j_1} \otimes ... \otimes {b'_k}^{j_k} = ({{M_1}^{-1}}^{j_1}_{m_1} {b_1}^{m_1}) \otimes ... \otimes ({{M_k}^{-1}}^{j_k}_{m_k} {b_k}^{m_k})\)。
次の事実に注目する、つまり、一般的に、各\(f_j, f'_j \in L (V_{j, 1}, ..., V_{j, k_j}: F)\)および各\(r, r' \in F\)に対して、\(f_1 \otimes ... \otimes (r f_j + r' f'_j) \otimes ... \otimes f_l = r f_1 \otimes ... \otimes f_j \otimes ... \otimes f_l + r' f_1 \otimes ... \otimes f'_j \otimes ... \otimes f_l\): テンソルたちのテンソルプロダクト（積）の定義の"注"を参照のこと。
したがって、\(({{M_1}^{-1}}^{j_1}_{m_1} {b_1}^{m_1}) \otimes ... \otimes ({{M_k}^{-1}}^{j_k}_{m_k} {b_k}^{m_k}) = {{M_1}^{-1}}^{j_1}_{m_1} ... {{M_k}^{-1}}^{j_k}_{m_k} {b_1}^{m_1} \otimes ... \otimes {b_k}^{m_k}\)。
