フィールド（体）、フィールド（体）上方のk個のベクトルたちスペース（空間）たちおよびフィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）は、ベーシス（基底）でデュアルベーシス（基底）たちの要素たちのテンソルプロダクト（積）たちから構成されるものを持つことの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のフィールド（体）、当該フィールド（体）上方の任意のk個のベクトルたちスペース（空間）たちに対して、当該フィールド（体）、当該ベクトルたちスペース（空間）たち、当該フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）は、ベーシス（基底）で当該ベクトルたちスペース（空間）たちの任意のベーシス（基底）たちのデュアルベーシス（基底）たちの全ての要素たちの全てのテンソルプロダクト（積）たちから構成されるものを持つという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(\{V_1, ..., V_k\}\): \(\subseteq \{\text{ 全てのファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(L (V_1, ..., V_k: F)\): \(= \text{ 当該テンソルたちスペース（空間） }\)
\(\{B_1, ..., B_k\}\): \(B_j \in \{\text{ の全てのベーシス（基底）たち } V_j\} = \{{b_j}_l \vert 1 \le l \le dim V_j\}\)
\(\{B^*_1, ..., B^*_k\}\): \(B^*_j = B_j \text{ のデュアルベーシス（基底） } = \{{b_j}^l \vert 1 \le l \le dim V_j\}\)
\(B^*\): \(= \{{b_1}^{j_1} \otimes ... \otimes {b_k}^{j_k} \vert \forall l \in \{1, ..., k\} (1 \le j_l \le dim V_l)\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(B^* \in \{L (V_1, ..., V_k: F) \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}\)
//
\(B^*\)を、"\(\{B_1, ..., B_k\}\)に関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）"と呼ぼう: それは、\(\{B_1, ..., B_k\}\)が指定されなければ決定されない。
2: 注1
\(L (V_1, ..., V_k: F)\)はもっと一般的な\(L (V_1, ..., V_k: W)\)ではあり得ない、なぜなら、\({b_1}^{j_1} \otimes ... \otimes {b_k}^{j_k} \in L (V_1, ..., V_k: F)\)。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(B^*\)は\(L (V_1, ..., V_k: F)\)をスパンする（張る）ことを見る; ステップ2: \(B^*\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であることを見る。
ステップ1:
\(f \in L (V_1, ..., V_k: F)\)は任意のものであるとしよう。
\(v = (v_1, ..., v_k) \in V_1 \times ... \times V_k\)は任意のものであるとしよう。
\(v_j = v_j^l {b_j}_l\)。
\(f (v) = f ((v_1, ..., v_k)) = f ((v_1^{l_1} {b_1}_{l_1}, ..., v_k^{l_k} {b_k}_{l_k})) = v_1^{l_1} v_k^{l_k} f (({b_1}_{l_1}, ..., {b_k}_{l_k}))\)。
\(f (({b_1}_{l_1}, ..., {b_k}_{l_k})) {b_1}^{l_1} \otimes ... \otimes {b_k}^{l_k} \in L (V_1, ..., V_k: F)\)のことを考えよう。
\(f (({b_1}_{l_1}, ..., {b_k}_{l_k})) {b_1}^{l_1} \otimes ... \otimes {b_k}^{l_k} (v) = f (({b_1}_{l_1}, ..., {b_k}_{l_k})) {b_1}^{l_1} \otimes ... \otimes {b_k}^{l_k} ((v_1, ..., v_k)) = f (({b_1}_{l_1}, ..., {b_k}_{l_k})) {b_1}^{l_1} (v_1^{m_1} {b_1}_{m_1}) ... {b_k}^{l_k} (v_k^{m_k} {b_k}_{m_k}) = f (({b_1}_{l_1}, ..., {b_k}_{l_k})) v_1^{m_1} \delta^{l_1}_{m_1} ... v_k^{m_k} \delta^{l_k}_{m_k} = f (({b_1}_{l_1}, ..., {b_k}_{l_k})) v_1^{l_1} ... v_k^{l_k}\)。
それが意味するのは、\(f = f (({b_1}_{l_1}, ..., {b_k}_{l_k})) {b_1}^{l_1} \otimes ... \otimes {b_k}^{l_k}\)、したがって、\(B^*\)は\(L (V_1, ..., V_k: F)\)をスパンする（張る）。
ステップ2:
\(c_{l_1, ..., l_k} {b_1}^{l_1} \otimes ... \otimes {b_k}{l_k} = 0\)としよう。
それを\(({b_1}_{m_1}, ..., {b_k}_{m_k})\)にオペレートさせる。すると、\((c_{l_1, ..., l_k} {b_1}^{l_1} \otimes ... \otimes {b_k}^{l_k}) (({b_1}_{m_1}, ..., {b_k}_{m_k})) = 0 (({b_1}_{m_1}, ..., {b_k}_{ m_k})) = 0\)、しかし、\((c_{l_1, ..., l_k} {b_1}^{l_1} \otimes ... \otimes {b_k}^{l_k}) (({b_1}_{m_1}, ..., {b_k}_{m_k})) = c_{l_1, ..., l_k} {b_1}^{l_1} ({b_1}_{m_1}) ... {b_k}^{l_k}) ({b_k}_{m_k}) = c_{l_1, ..., l_k} \delta^{l_1}_{m_1} ... \delta^{l_k}_{m_k} = c_{m_1, ..., m_k}\)、したがって、各\(c_{m_1, ..., m_k} = 0\)。
4: 注2
\(B^*\)が本命題内におけるように固定されたら、\(f = f (({b_1}_{l_1}, ..., {b_k}_{l_k})) {b_1}^{l_1} \otimes ... \otimes {b_k}^{l_k}\)、そして、\(f\)はコンポーネントたち\(\{f (({b_1}_{l_1}, ..., {b_k}_{l_k}))\}\)によってユニークに代表されることができる。
本命題は、\(V_j\)たちが互いに異なる\(F\)ベクトルたちスペース（空間）たちであることを許容するが、ある典型的なケースは、\(T^p_q (V) := L (V^*, ..., V^*, V, ..., V: F)\)、ここで、\(p\)個の\(V^*\)たちおよび\(q\)個の\(V\)たちがある。すると、\(V\)に対する任意のベーシス（基底）\(\{b_j \vert 1 \le j \le n\}\)に対して、\(V^*\)に対するデュアルベーシス（基底）を\(\{b^j \vert 1 \le j \le n\}\)として、\(B^*\)は(\{b_{j_1} \otimes ... \otimes b_{j_p} \otimes b^{j_{p + 1}} \otimes ... \otimes b^{j_{p + q}} \vert 1 \le j_l \le n\}\): 実のところ、そこの\(b_{j_l}\)は厳密にはそれでなく、それに\({V^*}^*\)内で対応するものである、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）のダブルデュアルは元のベクトルたちスペース（空間）へ'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるという命題内にて: \(b_l\)に対応するものは\(b^m\)へ\(b^m (b_l) = \delta^m_l\)としてオペレートするので、本当に、\(\{b_j\}\)に対応するベーシス（基底）は\(\{b^j\}\)のデュアルベーシス（基底）である。すると、\(f\)のコンポーネントたちは、\(f^{j_1, ..., j_p}_{j_{p + 1}, ..., j_{p + q}} := f ((b^{j_1}, ..., b^{j_p}, b_{j_{p + 1}}, ..., b_{j_{p + q}}))\)と表記される。
一部の人々は、\(\{f^{j_1, ..., j_p}_{j_{p + 1}, ..., j_{p + q}}\}\)を"テンソル"と呼ぶが、それらは本当はテンソル\(f\)の当該ベーシス（基底）\(B^*\)に関するコンポーネントたちであって、"テンソル"ではない。
本命題内における\(B^*\)はあるベーシス（基底）であるが、別のベーシス（基底）はその形である必要はない: ある\(L (V_1, V_2: F)\)、ここで、\(B_1 = \{{b_1}_1, {b_1}_2\}\)および\(B_2 = \{{b_2}_1, {b_2}_2\}\)、に対して、\(\{{b_1}^1 \otimes {b_2}^1, {b_1}^1 \otimes {b_2}^2 + {b_1}^2 \otimes {b_2}^1, {b_1}^1 \otimes {b_2}^2 - {b_1}^2 \otimes {b_2}^1, {b_1}^2 \otimes {b_2}^2\}\)はあるベーシス（基底）である: それは、\(L (V_1, V_2: F)\)をスパンする（張る）、なぜなら、\({b_1}^1 \otimes {b_2}^2\)および\({b_1}^2 \otimes {b_2}^1\)は\({b_1}^1 \otimes {b_2}^2 = 1 / 2 (({b_1}^1 \otimes {b_2}^2 + {b_1}^2 \otimes {b_2}^1) + ({b_1}^1 \otimes {b_2}^2 - {b_1}^2 \otimes {b_2}^1))\)および\({b_1}^2 \otimes {b_2}^1 = 1 / 2 (({b_1}^1 \otimes {b_2}^2 + {b_1}^2 \otimes {b_2}^1) - ({b_1}^1 \otimes {b_2}^2 - {b_1}^2 \otimes {b_2}^1))\)として実現される; それはリニア（線形）にインディペンデント（独立）である、なぜなら、\(c^1 {b_1}^1 \otimes {b_2}^1 + c^2 ({b_1}^1 \otimes {b_2}^2 + {b_1}^2 \otimes {b_2}^1) + c^3 ({b_1}^1 \otimes {b_2}^2 - {b_1}^2 \otimes {b_2}^1) + c^4 {b_1}^2 \otimes {b_2}^2 = 0\)は、\(c^1 = c^2 = c^3 = c^4 = 0\)を含意する: \(c^1 {b_1}^1 \otimes {b_2}^1 + c^2 ({b_1}^1 \otimes {b_2}^2 + {b_1}^2 \otimes {b_2}^1) + c^3 ({b_1}^1 \otimes {b_2}^2 - {b_1}^2 \otimes {b_2}^1) + c^4 {b_1}^2 \otimes {b_2}^2 = c^1 {b_1}^1 \otimes {b_2}^1 + (c^2 + c^3) {b_1}^1 \otimes {b_2}^2 + (c^2 - c^3) {b_1}^2 \otimes {b_2}^1 + c^4 {b_1}^2 \otimes {b_2}^2\)、それが含意するのは、\(c^1 = c^2 + c^3 = c^2 - c^3 = c^4 = 0\)、それが含意するのは、\(c^2 = c^3 = 0\)。
すると、\(f\)のコンポーネントたちは\(f^{j_1, ..., j_p}_{j_{p + 1}, ..., j_{p + q}}\)のように表記することができない、それは、そのベーシス（基底）に対しては意味をなさない。したがって、通常のコンポーネントたち表現\(f^{j_1, ..., j_p}_{j_{p + 1}, ..., j_{p + q}}\)は、本命題内で用いられている特定タイプのベーシス（基底）たちに関してのみ有効である。
