フィールド（体）、フィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）、1より大きいディグリー（次元）イリデューシブル（約分不能）ポリノミアル（多項式）に対して、フィールド（体）は、拡張して、エクステンデッド（拡張された）フィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）内のポリノミアル（多項式）のルート（根）を持つようにでき、エクステンデッド（拡張された）フィールド（体）は任意のそうした最小のものへ'フィールド（体）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）であることの記述/証明
話題
About: フィールド（体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、フィールド（体）の定義を知っている。
- 読者は、コミュータティブ（可換）リング（環）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）の定義を知っている。
- 読者は、コミュータティブ（可換）リング（環）のイリデューシブル（約分不能）要素の定義を知っている。
- 読者は、コミュータティブ（可換）リング（環）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）内のポリノミアル（多項式）のルート（根）を知っている。
- 読者は、リング（環）のプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）の定義を知っている。
- 読者は、リング（環）のアイディアル（イデアル）によるクウォシェント（商）リング（環）の定義を知っている。
- 読者は、スーパーフィールド（包含体）のサブセット（部分集合）によって生成されたサブフィールド（部分体）上方のフィールド（体）の定義を知っている。
- 読者は、エクステンデッド（拡張された）フィールド（体）上方にエクステンデッド（拡張された）ポリノミアル（多項式）を知っている。
- 読者は、任意のフィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、全てのユニットたちは全ての非ゼロコンスタント（定数）たちであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のフィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、任意のイリデューシブル（約分不能）ポリノミアル（多項式）によるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）はマキシマル（最大）アイディアル（イデアル）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコミュータティブ（可換）リング（環）の任意のマキシマル（最大）アイディアル（イデアル）によるクウォシェント（商）はフィールド（体）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のグループ（群）たち間の任意のマップ（写像）で任意の2要素たちのプロダクト（積）を当該要素たちのイメージ（像）たちのプロダクト（積）へマップするものはグループ（群） ホモモーフィズム（準同形写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のフィールド（体）たち間の任意のリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）はフィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のフィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブフィールド（部分体）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）フィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）は'フィールド（体）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のフィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）はユークリディアンドメインであるを認めている。
- 読者は、任意のリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）はドメイン（定義域）のアイディアル（イデアル）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコミュータティブ（可換）リング（環）に対して、当該リング（環）はフィールド（体）である、もしも、当該リング（環）の全てのアイディアル（イデアル）たちが0アイディアル（イデアル）および当該リング（環）全体である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）はインジェクティブ（単射）である、もしも、カーネル（核）が1サブグループ（部分群）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のフィールド（体）、当該フィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）、1より大きいディグリー（次元）の任意のイリデューシブル（約分不能）ポリノミアル（多項式）に対して、当該フィールド（体）は、拡張して、当該エクステンデッド（拡張された）フィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）内の当該ポリノミアル（多項式）のあるルート（根）を持つようにでき、当該エクステンデッド（拡張された）フィールド（体）は任意のそうした最小のものへ'フィールド（体）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(F [x]\): \(= F \text{ 上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環） }\)
\(p (x)\): \(\in \{F [x] \text{ の全てのn-ディグリー（次元）イリデューシブル（約分不能）たち }\}\)、ここで、\(2 \le n\)
\(I_b (p (x))\): \(= F [x] \text{ の } p (x) \text{ によるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル） }\)
\(F [x] / I_b (p (x))\): \(= \text{ 当該クウォシェント（商）リング（環） }\), \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(f\): \(: F \to F [x] / I_b (p (x)), r \mapsto [r x^0]\)
\(\overline{F [x] / I_b (p (x))}\): \(= F [x] / I_b (p (x)) \text{ の } f (F) \text{ を } F \text{ で置き換えたもの }\)
\(\overline{p (x)}\): \(= p (x) \text{ の } \overline{F [x] / I_b (p (x))} [x] \text{ 内でエクステンデッド（拡張された）もの }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\([x] \in \{\overline{p (x)} \text{ の全てのルート（根）たち }\}\)
\(\land\)
\(\forall F' \in \{F \text{ の全てのエクステンデッド（拡張された）フィールド（体）たち }\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } \exists \alpha \in F' \text{ で、 } \widetilde{p (x)} (\alpha) = 0 (F_{F'} (\alpha) \cong \overline{F [x] / I_b (p (x))})\)、ここで、\(\widetilde{p (x)}\)は\(F'\)内のエクステンデッド（拡張された）ポリノミアル（多項式）であり、\(F_{F'} (\alpha)\)は\(\{\alpha\}\)によって\(F\)上方に生成された\(F'\)内のフィールド（体）であり、\(\cong\)は'フィールド（体）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）である、アイソモーフィズム（同形写像）\(\phi: \overline{F [x] / I_b (p (x))} \to F_{F'} (\alpha), [p' (x)] \mapsto p' (\alpha)\)によって、ことを示す
//
注意として、私たちはしばしば"\(r x^0\)"のような表記たち（それは、通常、単に"\(r\)"と記される）を用いるが、その意図は、\(r = r x^0 \in F [x]\)を\(r \in F\)から区別することである。
1つの即座の系として、\(\overline{F [x] / I_b (p (x))}\)は、\([x]\)が\(\overline{p (x)}\)のルート（根）であるものとしてミニマル（最小）である、それが意味するのは、どの要素も\(\overline{F [x] / I_b (p (x))}\)から削除してそれをフィールド（体）に留めることはできない: \(\overline{F [x] / I_b (p (x))}\)のあるエクステンデッド（拡張された）フィールド（体）\(F'\)があると仮定して、\(F_{F'} ([x]) = \overline{F [x] / I_b (p (x))}\): 当該'フィールド（体）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）\(\phi: \overline{F [x] / I_b (p (x))} \to F_{F'} ([x]), [p' (x)] \mapsto p' ([x])\)があるが、実のところ、\([p' (x)] = p' ([x])\)、したがって、それは、実のところアイデンティティマップ（恒等写像）である。
2: 注1
\(p (x)\)が1-ディグリー（次元）である時は、\(p (x)\)は\(F\)内にルート（根）を持つ: \(p (x) = p_1 x + p_0 = (x + p_0 / p_1) p_1\)で、ルート（根）\(- p_0 / p_1\)を持ち、\(F\)は拡張する必要が全然ない。
\(F [x] / I_b (p (x))\)は本当には\(F\)のエクステンション（拡張）ではない、なぜなら、\(F\)は本当には\(F [x] / I_b (p (x))\)内に包含されていない、かなり広く、\(f (F)\)はずさんに\(F\)と同定されるが。私たちはそうしたずさんさを贔屓にせず、本物のエクステンション（拡張）を構成する労を取る。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(F\)は\(p (x)\)のルート（根）を全く持たないことを見る; ステップ2: \(F [x] / I_b (p (x))\)はフィールド（体）であることを見る; ステップ3: \(f\)はインジェクティブ（単射）フィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）であることを見る; ステップ4: \(\overline{F [x] / I_b (p (x))}\)は\(F\)のエクステンデッド（拡張された）フィールド（体）であることを見る; ステップ5: \([x]\)は\(\overline{p (x)}\)のルート（体）であることを見る; ステップ6: \(F_{F'} (\alpha) \cong \overline{F [x] / I_b (p (x))}\)であることを見る。
ステップ1:
\(F\)は\(p (x)\)のルート（根）を全く持たないことを見よう。
もしも、\(p (x)\)があるルート（根）を持っていたら、\(p (x) = (x - r) q (x)\)、ここで、\(q (x) \in F [x]\)。\(q (x)\)はコンスタント（定数）ではないことになる、なぜなら、そうでなければ、\(p (x)\)は0または1-ディグリー（次元）のものであることになる、矛盾。すると、\(x - r\)も\(q (x)\)もユニットではないことになる、任意のフィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、全てのユニットたちは全ての非ゼロコンスタント（定数）たちであるという命題によって。したがって、\(p (x)\)はイリデューシブル（約分不能）ではないことになる、コミュータティブ（可換）リング（環）のイリデューシブル（約分不能）要素の定義によって。
ステップ2:
\(F [x] / I_b (p (x))\)はフィールド（体）である、なぜなら、\(I_b (p (x))\)はマキシマル（最大）アイディアル（イデアル）である、任意のフィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、任意のイリデューシブル（約分不能）ポリノミアル（多項式）によるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）はマキシマル（最大）アイディアル（イデアル）であるという命題によって、そして、当該クウォシェント（商）はフィールド（体）である、任意のコミュータティブ（可換）リング（環）の任意のマキシマル（最大）アイディアル（イデアル）によるクウォシェント（商）はフィールド（体）であるという命題によって。
ステップ3:
\(f\)はインジェクティブ（単射）フィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）であることを見よう。
以下を満たす各\(r_1, r_2 \in F\)、つまり、\(r_1 \neq r_2\)に対して、\([r_1 x^0] \neq [r_2 x^0]\)、なぜなら、\([r_1 x^0] = [r_2 x^0]\)は\(r_1 x^0 - r_2 x^0 \in I_b (p (x))\)を意味することになる、それは\((r_1 - r_2) x^0 = p (x) q (x)\)を意味することになる、しかし、\(p (x)\)は1より大きいディグリー（次元）のものであるので、唯一の可能性は、\(q (x) = 0\)および\((r_1 - r_2) x^0 = 0\)、それは、\(r_1 = r_2\)を意味することになる、矛盾。
\(f\)はアディティブ（加法）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）である: \(f (r_1 + r_2) = [(r_1 + r_2) x^0] = [r_1 x^0 + r_2 x^0] = [r_1 x^0] + [r_2 x^0] = f (r_1) + f (r_2)\): 任意のグループ（群）たち間の任意のマップ（写像）で任意の2要素たちのプロダクト（積）を当該要素たちのイメージ（像）たちのプロダクト（積）へマップするものはグループ（群） ホモモーフィズム（準同形写像）であるという命題によって。
\(f (1) = [1 x^0]\)、それは、\(F [x] / I_b (p (x))\)内の\(1\)である。
\(f (r_1 r_2) = [r_1 r_2 x^0] = [r_1 x^0 r_2 x^0] = [r_1 x^0] [r_1 x^0] = f (r_1) f (r_2)\)。
したがって、\(f\)はリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）であり、フィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）である、任意のフィールド（体）たち間の任意のリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）はフィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）であるという命題によって。
ステップ4:
\(f (F) \in F [x] / I_b (p (x))\)は\(F [x] / I_b (p (x))\)のサブフィールド（部分体）である、任意のフィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブフィールド（部分体）であるという命題によって。
\(F\)は厳密には\(F [x] / I_b (p (x))\)のサブフィールド（部分体）ではない、なぜなら、任意の\(r \in F\)は\(F [x] / I_b (p (x))\)の要素ではない、\(f (r) = [r x^0]\)は\(F [x] / I_b (p (x))\)の要素であるが。
したがって、\(F\)の本当のエクステンション（拡張）を構築するために、\(\overline{F [x] / I_b (p (x))}\)を、\(F [x] / I_b (p (x))\)の\(f (F)\)を\(F\)で置き換えたものと定義する。\(\overline{F [x] / I_b (p (x))}\)上のオペレーションたちはカノニカル（正典）に定義される: 各\(r_1, r_2 \in \overline{F [x] / I_b (p (x))}\)に対して、\(r_1\)または\(r_2\)が\(F\)内にある時は、それは\(f (r_j)\)へマップされ、当該オペレーションたちは\(F [x] / I_b (p (x))\)内で行なわれる、そして、結果が\(f (F)\)内にある時は、それは\(F\)内へマップして戻される。\(\overline{F [x] / I_b (p (x))}\)は本当にフィールド（体）である、なぜなら、\(F\)と\(f (F)\)は'フィールド（体）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）である、任意のバイジェクティブ（全単射）フィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）は'フィールド（体）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。
したがって、\(\overline{F [x] / I_b (p (x))}\)は\(F\)のフィールド（体）エクステンション（拡張）である。
ステップ5:
\([x] \in \overline{F [x] / I_b (p (x))}\)は\(\overline{p (x)}\)のルート（根）であることを見よう。
\(p (x) = p_n x^n + ... + p_0\)としよう、それが意味するのは、\(\overline{p (x)} = p_n x^n + ... + p_0\)。
\(\overline{p (x)} ([x]) = p_n [x]^n + ... + p_0 = p_n [x^n] + ... + p_0 = [p_n x^0] [x^n] + ... + [p_0 x^0]\)、それが意味するのは、\(p_j \in F\)は\(f (p_j)\)へマップされ今やオペレーションたちを\(F [x] / I_b (p (x))\)内で行なうということ、\([p_n x^n] + ... + [p_0 x^0] = [p_n x^n + ... + p_0 x^0] = [0]\)、それは、\(0 \in F\)へマップして戻される、したがって、\(= 0\)。
ステップ6:
\(F_{F'} (\alpha) \cong \overline{F [x] / I_b (p (x))}\)であることを見よう。
実のところ、\(F_{F'} (\alpha) \cong F [x] / I_b (p (x))\)を代わりに見よう、それは上記を含意する、なぜなら、\(F [x] / I_b (p (x)) \cong \overline{F [x] / I_b (p (x))}\)。
\(\phi: F [x] / I_b (p (x)) \to F_{F'} (\alpha), [p' (x)] \to p' (\alpha)\)を定義しよう。
それはウェルデファインド（妥当に定義された）であることを見よう。各\([p' (x)] = [p'' (x)]\)に対して、\(p' (x) - p'' (x) = p (x) q (x)\)。\(p' (\alpha) - p'' (\alpha) = p (\alpha) q (\alpha) = 0 q (\alpha) = 0\)。したがって、\(p' (\alpha) = p'' (\alpha)\)、それが意味するのは、\(\phi ([p' (x)])\)は代表に依存しないということ。
\(\phi\)はフィールド（体）ホモモーフィック（準同形写像）であることを見よう。
\(\phi ([p' (x)] + [p'' (x)]) = \phi ([p' (x) + p'' (x)]) = p' (\alpha) + p'' (\alpha) = \phi ([p' (x)]) + \phi ([p'' (x)])\)。したがって、\(\phi\)はアディティブ（加法）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）である、任意のグループ（群）たち間の任意のマップ（写像）で任意の2要素たちのプロダクト（積）を当該要素たちのイメージ（像）たちのプロダクト（積）へマップするものはグループ（群） ホモモーフィズム（準同形写像）であるという命題によって。
\(\phi ([1 x^0]) = 1\)。
\(\phi ([p' (x)] [p'' (x)]) = \phi ([p' (x) p'' (x)]) = p' (\alpha) p'' (\alpha) = \phi ([p' (x)]) \phi ([p'' (x)])\)。
したがって、\(\phi\)はリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）であり、フィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）である、任意のフィールド（体）たち間の任意のリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）はフィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）であるという命題によって。
\(\phi\)はバイジェクティブ（全単射）であることを見よう。\(Ker (\phi)\)は\(F [x] / I_b (p (x))\)のアイディアル（イデアル）である、任意のリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）はドメイン（定義域）のアイディアル（イデアル）であるという命題によって、そして当該アイディアル（イデアル）は\(\{0\}\)または\(F [x] / I_b (p (x))\)である、任意のコミュータティブ（可換）リング（環）に対して、当該リング（環）はフィールド（体）である、もしも、当該リング（環）の全てのアイディアル（イデアル）たちが0アイディアル（イデアル）および当該リング（環）全体である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。しかし、当該アイディアル（イデアル）は\(F [x] / I_b (p (x))\)ではない、なぜなら、\([1 x^0]\)は\(1\)へマップされる、したがって、当該アイディアル（イデアル）は\(\{0\}\)である。\(\phi\)はインジェクティブ（単射）である、任意のグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）はインジェクティブ（単射）である、もしも、カーネル（核）が1サブグループ（部分群）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。\(\phi\)はサージェクティブ（全射）である、なぜなら、\(\phi (F [x] / I_b (p (x)))\)はフィールド（体）である、任意のフィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブフィールド（部分体）であるという命題によって、ところ、\(F\)は当該レンジ（値域）内に包含されており、\(\alpha\)は当該レンジ（値域）内に包含されている、それが意味するのは、\(\phi (F [x] / I_b (p (x)))\)は\(F\)および\(\{\alpha\}\)を包含するフィールド（体）であるということ、しかし、\(F_{F'} (\alpha)\)はそうした最小のものであるから、\(F_{F'} (\alpha) \subseteq \phi (F [x] / I_b (p (x)))\)。
したがって、\(\phi\)は'フィールド（体）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意のバイジェクティブ（全単射）フィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）は'フィールド（体）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。
4: 注2
今や、\(\overline{p (x)}\)はルート（根）\(\alpha_1 := [x] \in \overline{F [x] / I_b (p (x))}\)を持つ、それが意味するのは、\(\overline{p (x)} = (x - \alpha_1) q_{n - 1} (x)\)、ここで、\(q_{n - 1} (x) \in \overline{F [x] / I_b (p (x))} [x]\)は'\(n - 1\)'-ディグリー（次元）のものである。
\(q_{n - 1} (x)\)はイリデューシブル（約分不能）であるかもしれないしないかもしれない（少なくとも、それがイリデューシブル（約分不能）でないと私たちは証明しなかった）。もしも、\(q_{n - 1} (x)\)はイリデューシブル（約分不能）でない場合、それは、いくつかのイリデューシブル（約分不能）たちへ因子分解できる。いずれにせよ、もしも、ある1より大きいディグリー（次元）イリデューシブル（約分不能）因子\(q (x)\)が残る場合、\(q (x)\)に対して本命題を適用して、\(\overline{F [x] / I_b (p (x))}\)のエクステンデッド（拡張された）フィールド（体）で、その中で\(q (x)\)がルート（根）\(\alpha_2 : = [x]\)を持つものを取るこができる、等々と続く。注意として、\(\alpha_2 := [x]\)は勿論、前出の\(\alpha_1 := [x]\)とは異なる: \(\alpha_1 := [x]\)は\(\overline{F [x] / I_b (p (x))}\)の要素である一方で、\(\alpha_2 := [x]\)は\(\overline{\overline{F [x] / I_b (p (x))} [x] / I_b (q (x))}\)の要素であり、\(\overline{F [x] / I_b (p (x))}\)のではない。
結局、必ずしもイリデューシブル（約分不能）でないポリノミアル（多項式）\(p (x) \in F [x]\)は因子分解して、\(r (x - \alpha_1) ... (x - \alpha_n) \in F' [x]\)、ここで、\(F'\)は\(F\)のあるエクステンデッド（拡張された）フィールド（体）、にできる。\(\{\alpha_1, ..., \alpha_n\}\)は互いに異ならないかもしれない。
