983: フィールド（体）、フィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）、1より大きいディグリー（次元）イリデューシブル（約分不能）ポリノミアル（多項式）に対して、フィールド（体）は、拡張して、エクステンデッド（拡張された）フィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）内のポリノミアル（多項式）のルート（根）を持つようにでき、エクステンデッド（拡張された）フィールド（体）は任意のそうした最小のものへ'フィールド（体）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）である

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フィールド（体）、フィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）、1より大きいディグリー（次元）イリデューシブル（約分不能）ポリノミアル（多項式）に対して、フィールド（体）は、拡張して、エクステンデッド（拡張された）フィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）内のポリノミアル（多項式）のルート（根）を持つようにでき、エクステンデッド（拡張された）フィールド（体）は任意のそうした最小のものへ'フィールド（体）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）であることの記述/証明

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話題

About: フィールド（体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注1
• 3: 証明
• 4: 注2

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開始コンテキスト

• 読者は、フィールド（体）の定義を知っている。
• 読者は、コミュータティブ（可換）リング（環）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）の定義を知っている。
• 読者は、コミュータティブ（可換）リング（環）のイリデューシブル（約分不能）要素の定義を知っている。
• 読者は、コミュータティブ（可換）リング（環）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）内のポリノミアル（多項式）のルート（根）を知っている。
• 読者は、リング（環）のプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）の定義を知っている。
• 読者は、リング（環）のアイディアル（イデアル）によるクウォシェント（商）リング（環）の定義を知っている。
• 読者は、スーパーフィールド（包含体）のサブセット（部分集合）によって生成されたサブフィールド（部分体）上方のフィールド（体）の定義を知っている。
• 読者は、エクステンデッド（拡張された）フィールド（体）上方にエクステンデッド（拡張された）ポリノミアル（多項式）を知っている。
• 読者は、任意のフィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、全てのユニットたちは全ての非ゼロコンスタント（定数）たちであるという命題を認めている。
• 読者は、任意のフィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、任意のイリデューシブル（約分不能）ポリノミアル（多項式）によるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）はマキシマル（最大）アイディアル（イデアル）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のコミュータティブ（可換）リング（環）の任意のマキシマル（最大）アイディアル（イデアル）によるクウォシェント（商）はフィールド（体）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のグループ（群）たち間の任意のマップ（写像）で任意の2要素たちのプロダクト（積）を当該要素たちのイメージ（像）たちのプロダクト（積）へマップするものはグループ（群） ホモモーフィズム（準同形写像）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のフィールド（体）たち間の任意のリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）はフィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のフィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブフィールド（部分体）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）フィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）は'フィールド（体）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のフィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）はユークリディアンドメインであるを認めている。
• 読者は、任意のリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）はドメイン（定義域）のアイディアル（イデアル）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のコミュータティブ（可換）リング（環）に対して、当該リング（環）はフィールド（体）である、もしも、当該リング（環）の全てのアイディアル（イデアル）たちが0アイディアル（イデアル）および当該リング（環）全体である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
• 読者は、任意のグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）はインジェクティブ（単射）である、もしも、カーネル（核）が1サブグループ（部分群）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のフィールド（体）、当該フィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）、1より大きいディグリー（次元）の任意のイリデューシブル（約分不能）ポリノミアル（多項式）に対して、当該フィールド（体）は、拡張して、当該エクステンデッド（拡張された）フィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）内の当該ポリノミアル（多項式）のあるルート（根）を持つようにでき、当該エクステンデッド（拡張された）フィールド（体）は任意のそうした最小のものへ'フィールド（体）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$F[x]$: $=F\text{ 上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環） }$
$p(x)$: $\in \{F[x]\text{ の全てのn-ディグリー（次元）イリデューシブル（約分不能）たち }\}$、ここで、$2\le n$
$I_b(p(x))$: $=F[x]\text{ の }p(x)\text{ によるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル） }$
$F[x]/I_b(p(x))$: $=\text{ 当該クウォシェント（商）リング（環） }$, $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$f$: $:F\to F[x]/I_b(p(x)),r\mapsto [r{x}^0]$
$\overline{F[x]/I_b(p(x))}$: $=F[x]/I_b(p(x))\text{ の }f(F)\text{ を }F\text{ で置き換えたもの }$
$\overline{p(x)}$: $=p(x)\text{ の }\overline{F[x]/I_b(p(x))}[x]\text{ 内でエクステンデッド（拡張された）もの }$
//

ステートメント（言明）たち:
$[x]\in \{\overline{p(x)}\text{ の全てのルート（根）たち }\}$
$\wedge$
$\mathrm{\forall }{F}^{\prime }\in \{F\text{ の全てのエクステンデッド（拡張された）フィールド（体）たち }\}\text{ で、以下を満たすもの、つまり、 }\mathrm{\exists }\alpha \in F^{\prime }\text{ で、 }\widetilde{p(x)}(\alpha )=0(F_{F^{\prime }}(\alpha )\cong \overline{F[x]/I_b(p(x))})$、ここで、$\widetilde{p(x)}$は$F^{\prime }$内のエクステンデッド（拡張された）ポリノミアル（多項式）であり、$F_{F^{\prime }}(\alpha )$は$\{\alpha \}$によって$F$上方に生成された$F^{\prime }$内のフィールド（体）であり、$\cong$は'フィールド（体）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）である、アイソモーフィズム（同形写像）$\varphi :\overline{F[x]/I_b(p(x))}\to F_{F^{\prime }}(\alpha ),[p^{\prime }(x)]\mapsto p^{\prime }(\alpha )$によって、ことを示す
//

注意として、私たちはしばしば"$r{x}^0$"のような表記たち（それは、通常、単に"$r$"と記される）を用いるが、その意図は、$r=r{x}^0\in F[x]$を$r\in F$から区別することである。

1つの即座の系として、$\overline{F[x]/I_b(p(x))}$は、$[x]$が$\overline{p(x)}$のルート（根）であるものとしてミニマル（最小）である、それが意味するのは、どの要素も$\overline{F[x]/I_b(p(x))}$から削除してそれをフィールド（体）に留めることはできない: $\overline{F[x]/I_b(p(x))}$のあるエクステンデッド（拡張された）フィールド（体）$F^{\prime }$があると仮定して、$F_{F^{\prime }}([x])=\overline{F[x]/I_b(p(x))}$: 当該'フィールド（体）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）$\varphi :\overline{F[x]/I_b(p(x))}\to F_{F^{\prime }}([x]),[p^{\prime }(x)]\mapsto p^{\prime }([x])$があるが、実のところ、$[p^{\prime }(x)]=p^{\prime }([x])$、したがって、それは、実のところアイデンティティマップ（恒等写像）である。

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2: 注1

$p(x)$が1-ディグリー（次元）である時は、$p(x)$は$F$内にルート（根）を持つ: $p(x)=p_{1}x+p_0=(x+p_0/p_1)p_1$で、ルート（根）$-p_0/p_1$を持ち、$F$は拡張する必要が全然ない。

$F[x]/I_b(p(x))$は本当には$F$のエクステンション（拡張）ではない、なぜなら、$F$は本当には$F[x]/I_b(p(x))$内に包含されていない、かなり広く、$f(F)$はずさんに$F$と同定されるが。私たちはそうしたずさんさを贔屓にせず、本物のエクステンション（拡張）を構成する労を取る。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $F$は$p(x)$のルート（根）を全く持たないことを見る; ステップ2: $F[x]/I_b(p(x))$はフィールド（体）であることを見る; ステップ3: $f$はインジェクティブ（単射）フィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）であることを見る; ステップ4: $\overline{F[x]/I_b(p(x))}$は$F$のエクステンデッド（拡張された）フィールド（体）であることを見る; ステップ5: $[x]$は$\overline{p(x)}$のルート（体）であることを見る; ステップ6: $F_{F^{\prime }}(\alpha )\cong \overline{F[x]/I_b(p(x))}$であることを見る。

ステップ1:

$F$は$p(x)$のルート（根）を全く持たないことを見よう。

もしも、$p(x)$があるルート（根）を持っていたら、$p(x)=(x-r)q(x)$、ここで、$q(x)\in F[x]$。$q(x)$はコンスタント（定数）ではないことになる、なぜなら、そうでなければ、$p(x)$は0または1-ディグリー（次元）のものであることになる、矛盾。すると、$x-r$も$q(x)$もユニットではないことになる、任意のフィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、全てのユニットたちは全ての非ゼロコンスタント（定数）たちであるという命題によって。したがって、$p(x)$はイリデューシブル（約分不能）ではないことになる、コミュータティブ（可換）リング（環）のイリデューシブル（約分不能）要素の定義によって。

ステップ2:

$F[x]/I_b(p(x))$はフィールド（体）である、なぜなら、$I_b(p(x))$はマキシマル（最大）アイディアル（イデアル）である、任意のフィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、任意のイリデューシブル（約分不能）ポリノミアル（多項式）によるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）はマキシマル（最大）アイディアル（イデアル）であるという命題によって、そして、当該クウォシェント（商）はフィールド（体）である、任意のコミュータティブ（可換）リング（環）の任意のマキシマル（最大）アイディアル（イデアル）によるクウォシェント（商）はフィールド（体）であるという命題によって。

ステップ3:

$f$はインジェクティブ（単射）フィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）であることを見よう。

以下を満たす各$r_1,r_2\in F$、つまり、$r_1\ne r_2$に対して、$[r_1{x}^0]\ne [r_2{x}^0]$、なぜなら、$[r_1{x}^0]=[r_2{x}^0]$は$r_1{x}^0-r_2{x}^0\in I_b(p(x))$を意味することになる、それは$(r_1-r_2)x^0=p(x)q(x)$を意味することになる、しかし、$p(x)$は1より大きいディグリー（次元）のものであるので、唯一の可能性は、$q(x)=0$および$(r_1-r_2)x^0=0$、それは、$r_1=r_2$を意味することになる、矛盾。

$f$はアディティブ（加法）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）である: $f(r_1+r_2)=[(r_1+r_2)x^0]=[r_1{x}^0+r_2{x}^0]=[r_1{x}^0]+[r_2{x}^0]=f(r_1)+f(r_2)$: 任意のグループ（群）たち間の任意のマップ（写像）で任意の2要素たちのプロダクト（積）を当該要素たちのイメージ（像）たちのプロダクト（積）へマップするものはグループ（群） ホモモーフィズム（準同形写像）であるという命題によって。

$f(1)=[1x^0]$、それは、$F[x]/I_b(p(x))$内の$1$である。

$f(r_1{r}_2)=[r_1{r}_2{x}^0]=[r_1{x}^0{r}_2{x}^0]=[r_1{x}^0][r_1{x}^0]=f(r_1)f(r_2)$。

したがって、$f$はリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）であり、フィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）である、任意のフィールド（体）たち間の任意のリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）はフィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）であるという命題によって。

ステップ4:

$f(F)\in F[x]/I_b(p(x))$は$F[x]/I_b(p(x))$のサブフィールド（部分体）である、任意のフィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブフィールド（部分体）であるという命題によって。

$F$は厳密には$F[x]/I_b(p(x))$のサブフィールド（部分体）ではない、なぜなら、任意の$r\in F$は$F[x]/I_b(p(x))$の要素ではない、$f(r)=[r{x}^0]$は$F[x]/I_b(p(x))$の要素であるが。

したがって、$F$の本当のエクステンション（拡張）を構築するために、$\overline{F[x]/I_b(p(x))}$を、$F[x]/I_b(p(x))$の$f(F)$を$F$で置き換えたものと定義する。$\overline{F[x]/I_b(p(x))}$上のオペレーションたちはカノニカル（正典）に定義される: 各$r_1,r_2\in \overline{F[x]/I_b(p(x))}$に対して、$r_1$または$r_2$が$F$内にある時は、それは$f(r_j)$へマップされ、当該オペレーションたちは$F[x]/I_b(p(x))$内で行なわれる、そして、結果が$f(F)$内にある時は、それは$F$内へマップして戻される。$\overline{F[x]/I_b(p(x))}$は本当にフィールド（体）である、なぜなら、$F$と$f(F)$は'フィールド（体）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）である、任意のバイジェクティブ（全単射）フィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）は'フィールド（体）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。

したがって、$\overline{F[x]/I_b(p(x))}$は$F$のフィールド（体）エクステンション（拡張）である。

ステップ5:

$[x]\in \overline{F[x]/I_b(p(x))}$は$\overline{p(x)}$のルート（根）であることを見よう。

$p(x)=p_n{x}^n+...+p_0$としよう、それが意味するのは、$\overline{p(x)}=p_n{x}^n+...+p_0$。

$\overline{p(x)}([x])=p_n[x{]}^n+...+p_0=p_n[x^n]+...+p_0=[p_n{x}^0][x^n]+...+[p_0{x}^0]$、それが意味するのは、$p_j\in F$は$f(p_j)$へマップされ今やオペレーションたちを$F[x]/I_b(p(x))$内で行なうということ、$[p_n{x}^n]+...+[p_0{x}^0]=[p_n{x}^n+...+p_0{x}^0]=[0]$、それは、$0\in F$へマップして戻される、したがって、$=0$。

ステップ6:

$F_{F^{\prime }}(\alpha )\cong \overline{F[x]/I_b(p(x))}$であることを見よう。

実のところ、$F_{F^{\prime }}(\alpha )\cong F[x]/I_b(p(x))$を代わりに見よう、それは上記を含意する、なぜなら、$F[x]/I_b(p(x))\cong \overline{F[x]/I_b(p(x))}$。

$\varphi :F[x]/I_b(p(x))\to F_{F^{\prime }}(\alpha ),[p^{\prime }(x)]\to p^{\prime }(\alpha )$を定義しよう。

それはウェルデファインド（妥当に定義された）であることを見よう。各$[p^{\prime }(x)]=[p^{″}(x)]$に対して、$p^{\prime }(x)-p^{″}(x)=p(x)q(x)$。$p^{\prime }(\alpha )-p^{″}(\alpha )=p(\alpha )q(\alpha )=0q(\alpha )=0$。したがって、$p^{\prime }(\alpha )=p^{″}(\alpha )$、それが意味するのは、$\varphi ([p^{\prime }(x)])$は代表に依存しないということ。

$\varphi$はフィールド（体）ホモモーフィック（準同形写像）であることを見よう。

$\varphi ([p^{\prime }(x)]+[p^{″}(x)])=\varphi ([p^{\prime }(x)+p^{″}(x)])=p^{\prime }(\alpha )+p^{″}(\alpha )=\varphi ([p^{\prime }(x)])+\varphi ([p^{″}(x)])$。したがって、$\varphi$はアディティブ（加法）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）である、任意のグループ（群）たち間の任意のマップ（写像）で任意の2要素たちのプロダクト（積）を当該要素たちのイメージ（像）たちのプロダクト（積）へマップするものはグループ（群） ホモモーフィズム（準同形写像）であるという命題によって。

$\varphi ([1x^0])=1$。

$\varphi ([p^{\prime }(x)][p^{″}(x)])=\varphi ([p^{\prime }(x)p^{″}(x)])=p^{\prime }(\alpha )p^{″}(\alpha )=\varphi ([p^{\prime }(x)])\varphi ([p^{″}(x)])$。

したがって、$\varphi$はリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）であり、フィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）である、任意のフィールド（体）たち間の任意のリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）はフィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）であるという命題によって。

$\varphi$はバイジェクティブ（全単射）であることを見よう。$Ker(\varphi )$は$F[x]/I_b(p(x))$のアイディアル（イデアル）である、任意のリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）はドメイン（定義域）のアイディアル（イデアル）であるという命題によって、そして当該アイディアル（イデアル）は$\{0\}$または$F[x]/I_b(p(x))$である、任意のコミュータティブ（可換）リング（環）に対して、当該リング（環）はフィールド（体）である、もしも、当該リング（環）の全てのアイディアル（イデアル）たちが0アイディアル（イデアル）および当該リング（環）全体である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。しかし、当該アイディアル（イデアル）は$F[x]/I_b(p(x))$ではない、なぜなら、$[1x^0]$は$1$へマップされる、したがって、当該アイディアル（イデアル）は$\{0\}$である。$\varphi$はインジェクティブ（単射）である、任意のグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）はインジェクティブ（単射）である、もしも、カーネル（核）が1サブグループ（部分群）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。$\varphi$はサージェクティブ（全射）である、なぜなら、$\varphi (F[x]/I_b(p(x)))$はフィールド（体）である、任意のフィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブフィールド（部分体）であるという命題によって、ところ、$F$は当該レンジ（値域）内に包含されており、$\alpha$は当該レンジ（値域）内に包含されている、それが意味するのは、$\varphi (F[x]/I_b(p(x)))$は$F$および$\{\alpha \}$を包含するフィールド（体）であるということ、しかし、$F_{F^{\prime }}(\alpha )$はそうした最小のものであるから、$F_{F^{\prime }}(\alpha )\subseteq \varphi (F[x]/I_b(p(x)))$。

したがって、$\varphi$は'フィールド（体）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意のバイジェクティブ（全単射）フィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）は'フィールド（体）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。

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4: 注2

今や、$\overline{p(x)}$はルート（根）${\alpha }_1:=[x]\in \overline{F[x]/I_b(p(x))}$を持つ、それが意味するのは、$\overline{p(x)}=(x-{\alpha }_1)q_{n-1}(x)$、ここで、$q_{n-1}(x)\in \overline{F[x]/I_b(p(x))}[x]$は'$n-1$'-ディグリー（次元）のものである。

$q_{n-1}(x)$はイリデューシブル（約分不能）であるかもしれないしないかもしれない（少なくとも、それがイリデューシブル（約分不能）でないと私たちは証明しなかった）。もしも、$q_{n-1}(x)$はイリデューシブル（約分不能）でない場合、それは、いくつかのイリデューシブル（約分不能）たちへ因子分解できる。いずれにせよ、もしも、ある1より大きいディグリー（次元）イリデューシブル（約分不能）因子$q(x)$が残る場合、$q(x)$に対して本命題を適用して、$\overline{F[x]/I_b(p(x))}$のエクステンデッド（拡張された）フィールド（体）で、その中で$q(x)$がルート（根）${\alpha }_2:=[x]$を持つものを取るこができる、等々と続く。注意として、${\alpha }_2:=[x]$は勿論、前出の${\alpha }_1:=[x]$とは異なる: ${\alpha }_1:=[x]$は$\overline{F[x]/I_b(p(x))}$の要素である一方で、${\alpha }_2:=[x]$は$\overline{\stackrel{―}{F[x]/I_b(p(x))}[x]/I_b(q(x))}$の要素であり、$\overline{F[x]/I_b(p(x))}$のではない。

結局、必ずしもイリデューシブル（約分不能）でないポリノミアル（多項式）$p(x)\in F[x]$は因子分解して、$r(x-{\alpha }_1)...(x-{\alpha }_n)\in F^{\prime }[x]$、ここで、$F^{\prime }$は$F$のあるエクステンデッド（拡張された）フィールド（体）、にできる。$\{{\alpha }_1,...,{\alpha }_n\}$は互いに異ならないかもしれない。

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参考資料

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