1004: セット（集合）エンドモーフィズム（自己準同形写像）に対して、もしも、ドメイン（定義域）の上へのサージェクション（全射）があってサージェクション（全射）がサージェクション（全射）の後にエンドモーフィズム（自己準同形写像）を作用させるのと等しい場合、エンドモーフィズム（自己準同形写像）はアイデンティティ（恒等写像）である

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セット（集合）エンドモーフィズム（自己準同形写像）に対して、もしも、ドメイン（定義域）の上へのサージェクション（全射）があってサージェクション（全射）がサージェクション（全射）の後にエンドモーフィズム（自己準同形写像）を作用させるのと等しい場合、エンドモーフィズム（自己準同形写像）はアイデンティティ（恒等写像）であることの記述/証明

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 3: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、%ストラクチャー（構造）種類名%エンドモーフィズム（自己準同形写像）の定義を知っている。
• 読者は、サージェクション（全射）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のセット（集合）エンドモーフィズム（自己準同形写像）に対して、もしも、当該エンドモーフィズム（自己準同形写像）の当該ドメイン（定義域）の上への任意のサージェクション（全射）があって当該サージェクション（全射）が当該サージェクション（全射）の後に当該エンドモーフィズム（自己準同形写像）を作用させるのと等しい場合、当該エンドモーフィズム（自己準同形写像）はアイデンティティ（恒等写像）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$S$: $\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}$
$f$: $:S\to S$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\exists }{S}^{\prime }\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\},\mathrm{\exists }{f}^{\prime }:S^{\prime }\to S\in \{\text{ 全てのサージェクション（全射）たち }\}(f^{\prime }=f\circ f^{\prime })$
$⟹$
$f=id:S\to S$
//

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: 任意の$s\in S$を取り、ある$s^{\prime }\in S^{\prime }$に対して、$s=f^{\prime }(s^{\prime })$であることを見る; ステップ2: $f(s)=s$であることを見る。

ステップ1:

$s\in S$は任意のものであるとしよう。

$f^{\prime }$はサージェクティブ（全射）であるから、以下を満たすある$s^{\prime }\in S^{\prime }$、つまり、$s=f^{\prime }(s^{\prime })$、がある。

ステップ2:

$f^{\prime }=f\circ f^{\prime }$であるから、$s=f^{\prime }(s^{\prime })=f\circ f^{\prime }(s^{\prime })=f(s)$。

$s$は恣意的であるから、それが意味するのは、$f$はアイデンティティマップ（恒等写像）であるということ。

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3: 注

$f$がベクトルたちスペース（空間）エンドモーフィズム（自己準同形写像）であるケースに対しては、$f^{\prime }$に対してより少なく要求するある命題がある。

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参考資料

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