2025年2月9日日曜日

1005: ベクトルたちスペース（空間）エンドモーフィズム（自己準同形写像）に対して、もしも、ドメイン（定義域）の中へのマップ（写像）があってベーシス（基底）に関してサージェクティブ（全射）でありマップ（写像）がマップ（写像）の後にエンドモーフィズム（自己準同形写像）を作用させるのと等しい場合、エンドモーフィズム（自己準同形写像）はアイデンティティ（恒等写像）である

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ベクトルたちスペース（空間）エンドモーフィズム（自己準同形写像）に対して、もしも、ドメイン（定義域）の中へのマップ（写像）があってベーシス（基底）に関してサージェクティブ（全射）でありマップ（写像）がマップ（写像）の後にエンドモーフィズム（自己準同形写像）を作用させるのと等しい場合、エンドモーフィズム（自己準同形写像）はアイデンティティ（恒等写像）であることの記述/証明

話題


About: ベクトルたちスペース（空間）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）エンドモーフィズム（自己準同形写像）に対して、もしも、当該エンドモーフィズム（自己準同形写像）の当該ドメイン（定義域）の中への任意のマップ（写像）があって任意のベーシス（基底）に関してサージェクティブ（全射）であり当該マップ（写像）が当該マップ（写像）の後に当該エンドモーフィズム（自己準同形写像）を作用させるのと等しい場合、当該エンドモーフィズム（自己準同形写像）はアイデンティティ（恒等写像）であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
F: ∈{ 全てのフィールド（体）たち }
V: ∈{ 全ての F ベクトルたちスペース（空間）たち }
f: :V→V, ∈{ 全てのベクトルたちスペース（空間）エンドモーフィズム（自己準同形写像）たち }
//

ステートメント（言明）たち:
∃S′∈{ 全てのセット（集合）たち },∃B∈{V の全てのベーシス（基底）たち },∃f′:S′→V, で以下を満たすもの、つまり、 B⊆f′(S′)(f′=f∘f′)
⟹
f=id:V→V
//

2: 証明


全体戦略: ステップ1: 任意のv∈Vを取り、v=v1b1+...+vkbk、ここで、{b1,...,bk}⊆B、であることを見る; ステップ2: 各jに対して、あるsj′∈S′に対してbj=f′(sj′)であることを見る; ステップ3: f(v)=vであることを見る。

ステップ1:

v∈Vは任意のものであるとしよう。

v=v1b1+...+vkbk、ここで、{b1,...,bk}⊆Bおよび{v1,...,vk}⊆F。

ステップ2:

B⊆f′(S′)であるから、各j∈{1,...,k}に対して、以下を満たすあるsj′∈S′、つまり、bj=f′(sj′)、がある。

したがって、v=v1f′(s1′)+...+vkf′(sk′)。

ステップ3:

fはリニア（線形）であるから、f(v)=f(v1f′(s1′)+...+vkf′(sk′))=v1f(f′(s1′))+...+vkf(f′(sk′))、しかし、f′=f∘f′であるから、=v1f′(s1′)+...+vkf′(sk′)=v。

vは恣意的であるから、fはアイデンティティマップ（恒等写像）である。

3: 注


fが単にセット（集合）エンドモーフィズム（自己準同形写像）であるケースに対しては、f′に対してより多くを要求する命題がある。

参考資料
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