ベクトルたちスペース（空間）およびサブベクトルたちスペース（空間）たちのセット（集合）に対して、セット（集合）のインターセクション（共通集合）はサブベクトルたちスペース（空間）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）およびそのサブベクトルたちスペース（空間）たちの任意のセット（集合）に対して、当該セット（集合）のインターセクション（共通集合）はサブベクトルたちスペース（空間）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V'\): \(\in \{F \text{ 上方の全てのベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(\{V_\beta \vert \beta \in B\}\): \(B \in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）インデックスセット（集合）たち }\}\), \(V_\beta \in \{V' \text{ の全てのサブベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(V\): \(= \cap \{V_\beta \vert \beta \in B\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(V \in \{V' \text{ の全てのサブベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(V\)はベクトルたちスペース（空間）であるための要件たちを満たすことを見る。
ステップ1:
1) 任意の要素たち\(v_1, v_2 \in V\)に対して、\(v_1 + v_2 \in V\) （アディション（加法）の下で閉じていること）: \(v_j \in V_\beta\)、各\(\beta\)に対して、したがって、\(v_1 + v_2 \in V_\beta\)、各\(\beta\)に対して、したがって、\(v_1 + v_2 \in V\)。
2) 任意の要素たち\(v_1, v_2 \in V\)に対して、\(v_1 + v_2 = v_2 + v_1\) （アディション（加法）のコミュータティビティ（可換性））: \(v_1 + v_2 = v_2 + v_1\)、周囲\(V'\)上において、したがって、\(v_1 + v_2 = v_2 + v_1\)、\(V\)上において。
3) 任意の要素たち\(v_1, v_2, v_3 \in V\)に対して、\((v_1 + v_2) + v_3 = v_1 + (v_2 + v_3)\) （アディション（加法）たちのアソシアティビティ（結合性）: \((v_1 + v_2) + v_3 = v_1 + (v_2 + v_3)\)、周囲\(V'\)上において、したがって、\((v_1 + v_2) + v_3 = v_1 + (v_2 + v_3)\)、\(V\)上において。
4) ある0要素\(0 \in V\)で、任意の\(v \in V\)に対して、\(v + 0 = v\)を満たすものがある （0ベクトルの存在）: \(0 \in V_\beta\)、各\(\beta\)に対して、したがって、\(0 \in V\)。
5) 任意の要素\(v \in V\)に対して、以下を満たすあるインバース（逆）要素\(v' \in V\)、つまり、\(v' + v = 0\)、がある （インバース（逆）ベクトルの存在）: \(v'_\beta \in V_\beta\)、各\(\beta\)に対して（\(v'_\beta\)が\(\beta\)に依存するという可能性を私たちは排除しない）、しかし、\(v'_\beta\)は\(V'\)上においてもインバース（逆）である、なぜなら、そこで\(v'_\beta + v = 0\)であり、当該インバース（逆）はユニークである、なぜなら、\(v'_\beta + v = 0\)から、\(v'_\beta + v - v = 0 - v\)、それが含意するのは、\(v'_\beta = - v := v'\)、したがって、\(v' \in V_\beta\)、各\(\beta\)に対して、したがって、\(v' \in V\)、\(v' + v = 0\)で。
6) 任意の要素\(v \in V\)および任意のスカラー\(r \in F\)に対して、\(r . v \in V\) （スカラーマルチプリケーション（乗法）の下で閉じていること）: \(v \in V_\beta\)、各\(\beta\)に対して、したがって、\(r . v \in V_\beta\)、各\(\beta\)に対して、したがって、\(r . v \in V\)。
7) 任意の要素\(v \in V\)および任意のスカラーたち\(r_1, r_2 \in F\)に対して、\((r_1 + r_2) . v = r_1 . v + r_2 . v\) （スカラーたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: \((r_1 + r_2) . v = r_1 . v + r_2 . v\)、\(V\)上にて、なぜなら、周囲\(V'\)上でそうである。
8) 任意の要素たち\(v_1, v_2 \in V\)、任意のスカラー\(r \in F\)に対して、\(r . (v_1 + v_2) = r . v_1 + r . v_2\) （ベクトルたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: \(r . (v_1 + v_2) = r . v_1 + r . v_2\)、\(V\)上にて、なぜなら、周囲\(V'\)上にてそうである。
9) 任意の要素\(v \in V\)、任意のスカラーたち\(r_1, r_2 \in F\)に対して、\((r_1 r_2) . v = r_1 . (r_2 . v)\) （スカラーマルチプリケーション（乗法）たちのアソシアティビティ（結合性）: \((r_1 r_2) . v = r_1 . (r_2 . v)\)、\(V\)上にて、なぜなら、周囲\(V'\)上でそうである。
10) 任意の要素\(v \in V\)に対して、\(1 . v = v\) （1マルチプリケーション（乗法）のアイデンティティ（恒等性 ）: \(1 . v = v\)、\(V\)上にて、なぜなら、周囲\(V'\)上にてそうである。
