2025年2月9日日曜日

1003: ベクトルたちスペース（空間）およびサブベクトルたちスペース（空間）たちのセット（集合）に対して、セット（集合）のインターセクション（共通集合）はサブベクトルたちスペース（空間）である

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ベクトルたちスペース（空間）およびサブベクトルたちスペース（空間）たちのセット（集合）に対して、セット（集合）のインターセクション（共通集合）はサブベクトルたちスペース（空間）であることの記述/証明

話題


About: ベクトルたちスペース（空間）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）およびそのサブベクトルたちスペース（空間）たちの任意のセット（集合）に対して、当該セット（集合）のインターセクション（共通集合）はサブベクトルたちスペース（空間）であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
F: ∈{ 全てのフィールド（体）たち }
V′: ∈{F 上方の全てのベクトルたちスペース（空間）たち }
{Vβ|β∈B}: B∈{ 全てのアンカウンタブル（不可算）インデックスセット（集合）たち }, Vβ∈{V′ の全てのサブベクトルたちスペース（空間）たち }
V: =∩{Vβ|β∈B}
//

ステートメント（言明）たち:
V∈{V′ の全てのサブベクトルたちスペース（空間）たち }
//

2: 証明


全体戦略: ステップ1: Vはベクトルたちスペース（空間）であるための要件たちを満たすことを見る。

ステップ1:

1) 任意の要素たちv1,v2∈Vに対して、v1+v2∈V （アディション（加法）の下で閉じていること）: vj∈Vβ、各βに対して、したがって、v1+v2∈Vβ、各βに対して、したがって、v1+v2∈V。

2) 任意の要素たちv1,v2∈Vに対して、v1+v2=v2+v1 （アディション（加法）のコミュータティビティ（可換性））: v1+v2=v2+v1、周囲V′上において、したがって、v1+v2=v2+v1、V上において。

3) 任意の要素たちv1,v2,v3∈Vに対して、(v1+v2)+v3=v1+(v2+v3) （アディション（加法）たちのアソシアティビティ（結合性）: (v1+v2)+v3=v1+(v2+v3)、周囲V′上において、したがって、(v1+v2)+v3=v1+(v2+v3)、V上において。

4) ある0要素0∈Vで、任意のv∈Vに対して、v+0=vを満たすものがある （0ベクトルの存在）: 0∈Vβ、各βに対して、したがって、0∈V。

5) 任意の要素v∈Vに対して、以下を満たすあるインバース（逆）要素v′∈V、つまり、v′+v=0、がある （インバース（逆）ベクトルの存在）: vβ′∈Vβ、各βに対して（vβ′がβに依存するという可能性を私たちは排除しない）、しかし、vβ′はV′上においてもインバース（逆）である、なぜなら、そこでvβ′+v=0であり、当該インバース（逆）はユニークである、なぜなら、vβ′+v=0から、vβ′+v−v=0−v、それが含意するのは、vβ′=−v:=v′、したがって、v′∈Vβ、各βに対して、したがって、v′∈V、v′+v=0で。

6) 任意の要素v∈Vおよび任意のスカラーr∈Fに対して、r.v∈V （スカラーマルチプリケーション（乗法）の下で閉じていること）: v∈Vβ、各βに対して、したがって、r.v∈Vβ、各βに対して、したがって、r.v∈V。

7) 任意の要素v∈Vおよび任意のスカラーたちr1,r2∈Fに対して、(r1+r2).v=r1.v+r2.v （スカラーたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: (r1+r2).v=r1.v+r2.v、V上にて、なぜなら、周囲V′上でそうである。

8) 任意の要素たちv1,v2∈V、任意のスカラーr∈Fに対して、r.(v1+v2)=r.v1+r.v2 （ベクトルたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: r.(v1+v2)=r.v1+r.v2、V上にて、なぜなら、周囲V′上にてそうである。

9) 任意の要素v∈V、任意のスカラーたちr1,r2∈Fに対して、(r1r2).v=r1.(r2.v) （スカラーマルチプリケーション（乗法）たちのアソシアティビティ（結合性）: (r1r2).v=r1.(r2.v)、V上にて、なぜなら、周囲V′上でそうである。

10) 任意の要素v∈Vに対して、1.v=v （1マルチプリケーション（乗法）のアイデンティティ（恒等性 ）: 1.v=v、V上にて、なぜなら、周囲V′上にてそうである。

参考資料
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