1002: ベクトルたちスペース（空間）のサブセット（部分集合）によって生成されたサブベクトルたちスペース（空間）

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ベクトルたちスペース（空間）のサブセット（部分集合）によって生成されたサブベクトルたちスペース（空間）の定義

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のサブセット（部分集合）によって生成されたサブベクトルたちスペース（空間）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$V^{\prime }$: $\in \{F\text{ 上方の全てのベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$S$: $\subseteq V^{\prime }$
$\ast (S)$: $\in \{V^{\prime }\text{ の全てのサブベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
//

コンディションたち:
$S\subseteq (S)$
$\wedge$
$\mathrm{\neg }\mathrm{\exists }V\in \{V^{\prime }\text{ の全てのサブベクトルたちスペース（空間）たち }\}(S\subseteq V\subset (S))$
//

言い換えると、$(S)$は、$S$を包含する最小サブベクトルたちスペース（空間）である。

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2: 注

$(S)$は本当にウェルデファインド（妥当に定義された）である（ユニークに存在する）、なぜなら、それは、$S$を包含する全てのサブベクトルたちスペース（空間）たちのインターセクション（共通集合）である: $S$を包含する少なくとも1つのサブベクトルたちスペース（空間）$V^{\prime }$がある; 当該インターセクション（共通集合）は本当に$S$を包含する最小サブベクトルたちスペース（空間）である、なぜなら、それは、$S$を包含する、任意のサブベクトルたちスペース（空間）たちのインターセクション（共通集合）はサブベクトルたちスペース（空間）である、任意のベクトルたちスペース（空間）およびそのサブベクトルたちスペース（空間）たちの任意のセット（集合）に対して、当該セット（集合）のインターセクション（共通集合）はサブベクトルたちスペース（空間）であるという命題によって、そして、それはある最小のものである、なぜなら、それは$S$を包含する任意のサブベクトルたちスペース（空間）内に包含されている; 当該インターセクション（共通集合）は本当に$S$を包含するユニークな最小サブベクトルたちスペース（空間）である、なぜなら、もしも、$S$を包含する別の最小サブベクトルたちスペース（空間）があったら、それは、当該インターセクション（共通集合）の構成要素であることになり、当該インターセクション（共通集合）は当該別サブベクトルたちスペース（空間）より小さいかそれに等しいことになり、もしも、当該インターセクション（共通集合）が当該別サブベクトルたちスペース（空間）より小さかったら、当該別サブベクトルたちスペース（空間）は実は最小でなかったということになり、もしも、当該インターセクション（共通集合）が当該別サブベクトルたちスペース（空間）に等しかったら、当該別サブベクトルたちスペース（空間）は実は"別"でなかったということになる。.

$S\ne \mathrm{\varnothing }$である時、$(S)$は$S$の要素たちの全てのリニアコンビネーション（線形結合）たちのセット（集合）である、それは、ベクトルたちスペース（空間）のサブセット（部分集合）によって生成されたサブベクトルたちスペース（空間）の別の定義であり得る。

その理由は、当該セット（集合）は$S$を包含する; 当該セット（集合）の各要素は$(S)$内に包含されている、なぜなら、$(S)$はベクトルたちスペース（空間）である; 当該セット（集合）は本当にベクトルたちスペース（空間）を構成する、なぜなら、それは、リニアコンビネーション（線形結合）たち下に閉じている（$S$の要素たちの任意のリニアコンビネーション（線形結合）たちの任意のリニアコンビネーション（線形結合）は$S$の要素たちのリニアコンビネーション（線形結合である）), $0$はその中にある、あるリニアコンビネーション（線形結合）として、当該セット（集合）の各要素のインバース（逆）要素は当該セット（集合）内に包含されている、リニアコンビネーション（線形結合）として、そして、コミュータティビティ（可換性）、アソシアティビティ（結合性）、ディストリビュータビリティ（分配性）、等の他の要件たちは成立する、なぜなら、それらは、周囲$V^{\prime }$内にて成立する、したがって、当該セット（集合）はサブベクトルたちスペース（空間）で、$S$を包含し、$(S)$より小さいかそれに等しいものである、しかし、当該セット（集合）はより小さいことはあり得ない、なぜなら、$(S)$が最小である、したがって、当該セット（集合）は$(S)$に等しい。

$S=\mathrm{\varnothing }$である時は、$(S)=\{0\}$。

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参考資料

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