ベクトルたちスペース（空間）のサブセット（部分集合）によって生成されたサブベクトルたちスペース（空間）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のサブセット（部分集合）によって生成されたサブベクトルたちスペース（空間）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\( V'\): \(\in \{F \text{ 上方の全てのベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\( S\): \(\subseteq V'\)
\(*(S)\): \(\in \{V' \text{ の全てのサブベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
//
コンディションたち:
\(S \subseteq (S)\)
\(\land\)
\(\lnot \exists V \in \{V' \text{ の全てのサブベクトルたちスペース（空間）たち }\} (S \subseteq V \subset (S))\)
//
言い換えると、\((S)\)は、\(S\)を包含する最小サブベクトルたちスペース（空間）である。
2: 注
\((S)\)は本当にウェルデファインド（妥当に定義された）である（ユニークに存在する）、なぜなら、それは、\(S\)を包含する全てのサブベクトルたちスペース（空間）たちのインターセクション（共通集合）である: \(S\)を包含する少なくとも1つのサブベクトルたちスペース（空間）\(V'\)がある; 当該インターセクション（共通集合）は本当に\(S\)を包含する最小サブベクトルたちスペース（空間）である、なぜなら、それは、\(S\)を包含する、任意のサブベクトルたちスペース（空間）たちのインターセクション（共通集合）はサブベクトルたちスペース（空間）である、任意のベクトルたちスペース（空間）およびそのサブベクトルたちスペース（空間）たちの任意のセット（集合）に対して、当該セット（集合）のインターセクション（共通集合）はサブベクトルたちスペース（空間）であるという命題によって、そして、それはある最小のものである、なぜなら、それは\(S\)を包含する任意のサブベクトルたちスペース（空間）内に包含されている; 当該インターセクション（共通集合）は本当に\(S\)を包含するユニークな最小サブベクトルたちスペース（空間）である、なぜなら、もしも、\(S\)を包含する別の最小サブベクトルたちスペース（空間）があったら、それは、当該インターセクション（共通集合）の構成要素であることになり、当該インターセクション（共通集合）は当該別サブベクトルたちスペース（空間）より小さいかそれに等しいことになり、もしも、当該インターセクション（共通集合）が当該別サブベクトルたちスペース（空間）より小さかったら、当該別サブベクトルたちスペース（空間）は実は最小でなかったということになり、もしも、当該インターセクション（共通集合）が当該別サブベクトルたちスペース（空間）に等しかったら、当該別サブベクトルたちスペース（空間）は実は"別"でなかったということになる。.
\(S \neq \emptyset\)である時、\((S)\)は\(S\)の要素たちの全てのリニアコンビネーション（線形結合）たちのセット（集合）である、それは、ベクトルたちスペース（空間）のサブセット（部分集合）によって生成されたサブベクトルたちスペース（空間）の別の定義であり得る。
その理由は、当該セット（集合）は\(S\)を包含する; 当該セット（集合）の各要素は\((S)\)内に包含されている、なぜなら、\((S)\)はベクトルたちスペース（空間）である; 当該セット（集合）は本当にベクトルたちスペース（空間）を構成する、なぜなら、それは、リニアコンビネーション（線形結合）たち下に閉じている（\(S\)の要素たちの任意のリニアコンビネーション（線形結合）たちの任意のリニアコンビネーション（線形結合）は\(S\)の要素たちのリニアコンビネーション（線形結合である）), \(0\)はその中にある、あるリニアコンビネーション（線形結合）として、当該セット（集合）の各要素のインバース（逆）要素は当該セット（集合）内に包含されている、リニアコンビネーション（線形結合）として、そして、コミュータティビティ（可換性）、アソシアティビティ（結合性）、ディストリビュータビリティ（分配性）、等の他の要件たちは成立する、なぜなら、それらは、周囲\(V'\)内にて成立する、したがって、当該セット（集合）はサブベクトルたちスペース（空間）で、\(S\)を包含し、\((S)\)より小さいかそれに等しいものである、しかし、当該セット（集合）はより小さいことはあり得ない、なぜなら、\((S)\)が最小である、したがって、当該セット（集合）は\((S)\)に等しい。
\(S = \emptyset\)である時は、\((S) = \{0\}\)。
