2025年2月16日日曜日

1006: セット（集合）上のフリーベクトルたちスペース（空間）

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セット（集合）上のフリーベクトルたちスペース（空間）の定義

話題


About: ベクトルたちスペース（空間）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、セット（集合）上のフリーベクトルたちスペース（空間）の定義を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
S: ∈{ 全てのセット（集合）たち }
F: ∈{ 全てのフィールド（体）たち }
∗F(S,F): ={f:S→F∈Pow(S×F)|f−1(F∖{0})∈{ 全てのファイナイト（有限）セット（集合）たち }}で、下で指定されるアディション（加法）およびスカラーマルチプリケーション（乗法）を持つもの、∈{ 全ての F ベクトルたちスペース（空間）たち }
//

コンディションたち:
∀f1,f2∈F(S,F)(f1+f2:s↦f1(s)+f2(s))
∧
∀r∈F,∀f∈F(S,F)(rf:s↦rf(s))
//

2: 注


"F(S,F)"中の初めの"F"はフィールド（体）Fを意味せず、"Free"の短縮である。したがって、当該フィールド（体）がRである時は、それは、F(S,R)になる。

あるfはしばしばr1s1+...+rkskと記される、ここで、rj∈Fおよびsj∈S、それが意味するのは、f(sj)=rjおよびf(s)=0、任意のs∉{s1,...,sk}に対して。当該表現はコミュータティブ（可換）である: r1s1+r2s2+r3s3=r2s2+r1s1+r3s3=...、なぜなら、それはfを全く変更しない。

当該オペレーションたちは本当にウェルデファインド（妥当に定義された）である: (f1+f2)−1(F∖{0})∈{ 全てのファイナイト（有限）セット（集合）たち }および(rf)−1(F∖{0})∈{ 全てのファイナイト（有限）セット（集合）たち }、明らかに。

F(S,F)は本当にFベクトルたちスペース（空間）であることを見よう。

1) 任意の要素たちv1,v2∈F(S,F)に対して、v1+v2∈F(S,F)（アディション（加法）の下で閉じていること）: 既に見られた。

2) 任意の要素たちv1,v2∈F(S,F)に対して、v1+v2=v2+v1（アディション（加法）のコミュータティビティ（可換性）: 各s∈Sに対して、(v1+v2)(s)=v1(s)+v2(s)=v2(s)+v1(s)=(v2+v1)(s)。

3) 任意の要素たちv1,v2,v3∈F(S,F)に対して、(v1+v2)+v3=v1+(v2+v3)（アディション（加法）たちのアソシアティビティ（結合性））: 各s∈Sに対して、((v1+v2)+v3)(s)=(v1+v2)(s)+v3(s)=v1(s)+v2(s)+v3(s)=v1(s)+(v2(s)+v3(s))=v1(s)+(v2+v3)(s)=(v1+(v2+v3))(s)。

4) 以下を満たすある0要素0∈F(S,F)、つまり、任意のv∈F(S,F)に対して、v+0=v、がある（0ベクトルの存在）: 0ファンクション（関数）f0は0である、なぜなら、各s∈Sに対して、(v+f0)(s)=v(s)+f0(s)=v(s)+0=v(s)。

5) 任意の要素v∈F(S,F)に対して、以下を満たすあるインバース（逆）要素v′∈F(S,F)、つまり、v′+v=0、がある（インバース（逆）ベクトルの存在）: −vはあるv′である、なぜなら、各s∈Sに対して、(−v+v)(s)=−v(s)+v(s)=0=f0(s)。

6) 任意の要素v∈F(S,F)、任意のスカラーr∈Fに対して、r.v∈F(S,F)（スカラーマルチプリケーション（乗法）の下で閉じていること）: 既に見られた。

7) 任意の要素v∈F(S,F)、任意のスカラーたちr1,r2∈Fに対して、(r1+r2).v=r1.v+r2.v（スカラーたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: 各s∈Sに対して、((r1+r2).v)(s)=(r1+r2)v(s)=r1v(s)+r2v(s)=(r1v)(s)+(r2v)(s)=(r1.v+r2.v)(s)。

8) 任意の要素たちv1,v2∈F(S,F)、任意のスカラーr∈Fに対して、r.(v1+v2)=r.v1+r.v2（ベクトルたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: 各s∈Sに対して、(r.(v1+v2))(s)=r(v1+v2)(s)=r(v1(s)+v2(s))=rv1(s)+rv2(s)=(rv1)(s)+(rv2)(s)=(r.v1+r.v2)(s)。

9) 任意の要素v∈V、任意のスカラーたちr1,r2∈Fに対して、(r1r2).v=r1.(r2.v)（スカラーマルチプリケーション（乗法）たちのアソシアティビティ（結合性））: 各s∈Sに対して、((r1r2).v)(s)=(r1r2)v(s)=r1(r2v(s))=r1(r2v)(s)=(r1.(r2.v))(s)。

10) 任意の要素v∈Vに対して、1.v=v（1マルチプリケーション（乗法）のアイデンティティ（恒等性 ））: 各s∈Sに対して、(1.v)(s)=1v(s)=v(s)。

各s∈Sに対して、以下を満たすファンクション（関数）fs∈F(S,F)、つまり、fs(s)=1およびfs(s′)=0、各s′∈S∖{s}に対して、がある（前に言及された記法によるfs=1s）、そして、B:={fs∈F(S,F):s∈S}はF(S,F)のあるベーシス（基底）である: 各f∈F(S,F)に対して、f=f1fs1+...+fkfsk、それは、前に言及された記法によるf1s1+...+fksk; それは、リニア（線形）にインディペンデント（独立）である、なぜなら、各c1fs1+...+ckfsk=0に対して、(c1fs1+...+ckfsk)(sj)=0(sj)=0、しかし、左辺は、c1fs1(sj)+...+ckfsk(sj)=cj、したがって、cj=0。

SがあるFベクトルたちスペース（空間）Vである時は気をつける必要がある: 各v∈Vおよびr∈F∖{1}に対して、rfv=r(1v)=r(v)≠(rv)=1(rv)=1frv=frv、なぜなら、rfvはvをrへマップするマップ（写像）である一方、frvはrvを1へマップするがvを0へマップ（写像）である。Sが単なるあるセット（集合）である時は、rfs=rsは曖昧でない、なぜなら、S上においてrsなどというオペレーションはないから、rは不可避にF(S,F)上でオペレーションしている、しかし、S=V、あるFベクトルたちスペース（空間）、である時は、rvは曖昧である、rはV上でオペレーションしている、それは、1(rv)=1frv、のか、rはF(V,F)上でオペレーションしている、それは、r(v)=rfv、のか。

私たちは、各v∈Vに対して、vはv∈Vを表わす一方、(v)は(v)=fv∈F(V,F)を表わすという記法を採用する。

参考資料
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