2025年2月16日日曜日

1007: フィールド（体）、フィールド（体）上方のk個のベクトルたちスペース（空間）たちおよびベクトルたちスペース（空間）に関するテンソルたちスペース（空間）

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フィールド（体）、フィールド（体）上方のk個のベクトルたちスペース（空間）たちおよびベクトルたちスペース（空間）に関するテンソルたちスペース（空間）の定義

話題


About: ベクトルたちスペース（空間）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、フィールド（体）、フィールド（体）上方のk個のベクトルたちスペース（空間）たちおよびベクトルたちスペース（空間）に関するテンソルたちスペース（空間）の定義を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
F: ∈{ 全てのフィールド（体）たち }
{V1,...,Vk,W}: ⊆{ 全ての F ベクトルたちスペース（空間）たち }
∗L(V1,...,Vk:W): ={f:V1,...,Vk→W:∀j∈{1,...,k},∀v1∈V1,...,∀vk∈Vk,∀vj′∈Vj,∀r,r′∈F(f(v1,...,rvj+r′vj′,...,vk)=rf(v1,...,vj,...,vk)+r′f(v1,...,vj′,...,vk))}, ∈{ 全ての F ベクトルたちスペース（空間）たち }、下に指定されるアディション（加法）およびスカラーマルチプリケーション（乗法）を持って
//

コンディションたち:
∀f1,f2∈L(V1,...,Vk:W)((f1+f2)(v1,...,vk)=f1(v1,...,vk)+f2(v1,...,vk))
∧
∀f∈L(V1,...,Vk:W),∀r∈F((rf)(v1,...,vk)=r(f(v1,...,vk))
//

2: 注


言い換えると、fはマルチリニア（線形）マップ（写像）である。

Fは当該全てのベクトルたちスペース（空間）たちに対して同一である必要がある、なぜなら、そうでなければ、当該リニア（線形）性は意味をなさない: "rf(v1,...,vj,...,vk)"は意味をなさない、もしも、WがFベクトルたちスペース（空間）でなかったら、したがって、各VjはWのフィールド（体）上方のものである必要がある。実のところ、Wのフィールド（体）は厳密にVjのフィールド（体）である必要はなく、Vjのフィールド（体）のエクステンション（拡張）である必要がある、という議論はあり得、それは実際可能であるかもしれないが、そのケースを許容して状況を複雑化する即座の必要性を私たちは見ていない。

L(V1,...,Vk:W)は本当にFベクトルたちスペース（空間）であることを見よう。

1) 任意の要素たちf1,f2∈L(V1,...,Vk:W)に対して、f1+f2∈L(V1,...,Vk:W)（アディション（加法）の下で閉じていること）: f1+f2は:V1,...,Vk→Wである; (f1+f2)(v1,...,rvj+r′vj′,...,vk)=f1(v1,...,rvj+r′vj′,...,vk)+f2(v1,...,rvj+r′vj′,...,vk)=rf1(v1,...,vj,...,vk)+r′f1(v1,...,vj′,...,vk)+rf2(v1,...,vj,...,vk)+r′f2(v1,...,vj′,...,vk)=rf1(v1,...,vj,...,vk)+rf2(v1,...,vj,...,vk)+r′f1(v1,...,vj′,...,vk)+r′f2(v1,...,vj′,...,vk)=r(f1(v1,...,vj,...,vk)+f2(v1,...,vj,...,vk))+r′(f1(v1,...,vj′,...,vk)+f2(v1,...,vj′,...,vk))=r(f1+f2)(v1,...,vj,...,vk)+r′(f1+f2)(v1,...,vj′,...,vk)。

2) 任意の要素たちf1,f2∈L(V1,...,Vk:W)に対して、f1+f2=f2+f1（アディション（加法）のコミュータティビティ（可換性）: (f1+f2)(v1,...,vk)=f1(v1,...,vk)+f2(v1,...,vk)=f2(v1,...,vk)+f1(v1,...,vk)=(f2+f1)(v1,...,vk)。

3) 任意の要素たちf1,f2,f3∈L(V1,...,Vk:W)に対して、(f1+f2)+f3=f1+(f2+f3)（アディション（加法）たちのアソシアティビティ（結合性））: ((f1+f2)+f3)(v1,...,vk)=(f1+f2)(v1,...,vk)+f3(v1,...,vk)=f1(v1,...,vk)+f2(v1,...,vk)+f3(v1,...,vk)=f1(v1,...,vk)+(f2(v1,...,vk)+f3(v1,...,vk))=f1(v1,...,vk)+(f2+f3)(v1,...,vk)=(f1+(f2+f3))(v1,...,vk)。

4) 以下を満たすある0要素0∈L(V1,...,Vk:W)、つまり、任意のf∈L(V1,...,Vk:W)に対して、f+0=f、がある（0ベクトルの存在）: 0マップ（写像）f0∈L(V1,...,Vk:W)は0である、なぜなら、(f+f0)(v1,...,vk)=f(v1,...,vk)+f0(v1,...,vk)=f(v1,...,vk)+0=f(v1,...,vk)。

5) 任意の要素f∈L(V1,...,Vk:W)に対して、以下を満たすあるインバース（逆）要素f′∈L(V1,...,Vk:W)、つまり、f′+f=0、がある（インバース（逆）ベクトルの存在）: −f∈L(V1,...,Vk:W)はf′である、なぜなら、(−f+f)(v1,...,vk)=−f(v1,...,vk)+f(v1,...,vk)=0=f0(v1,...,vk)。

6) 任意の要素f∈L(V1,...,Vk:W)、任意のスカラーr∈Fに対して、r.f∈L(V1,...,Vk:W)（スカラーマルチプリケーション（乗法）の下で閉じていること: r.fは:V1,...,Vk→Wである; (r.f)(v1,...,svj+s′vj′,...,vk)=rf(v1,...,svj+s′vj′,...,vk)=r(sf(v1,...,vj,...,vk)+s′f(v1,...,vj′,...,vk))=srf(v1,...,vj,...,vk)+s′rf(v1,...,vj′,...,vk)=s(rf)(v1,...,vj,...,vk)+s′(rf)(v1,...,vj′,...,vk)。

7) 任意の要素f∈L(V1,...,Vk:W)、任意のスカラーたちr1,r2∈Fに対して、(r1+r2).f=r1.f+r2.f（スカラーたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: ((r1+r2).f)(v1,...vk)=(r1+r2)f(v1,...vk)=r1f(v1,...vk)+r2f(v1,...vk)=(r1f)(v1,...vk)+(r2f)(v1,...vk)=(r1.f+r2.f)(v1,...vk)。

8) 任意の要素たちf1,f2∈L(V1,...,Vk:W)、任意のスカラーr∈Fに対して、r.(f1+f2)=r.f1+r.f2（ベクトルたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: (r.(f1+f2))(v1,...vk)=r(f1+f2)(v1,...vk)=r(f1(v1,...vk)+f2(v1,...vk))=rf1(v1,...vk)+rf2(v1,...vk)=(rf1)(v1,...vk)+(rf2)(v1,...vk)=(r.f1+r.f2)(v1,...vk)。

9) 任意の要素f∈L(V1,...,Vk:W)、任意のスカラーたちr1,r2∈Fに対して、(r1r2).f=r1.(r2.f)（スカラーマルチプリケーション（乗法）たちのアソシアティビティ（結合性））: ((r1r2).f)(v1,...vk)=(r1r2)f(v1,...vk)=r1(r2f(v1,...vk))=r1((r2f)(v1,...vk))=(r1.(r2.f))(v1,...vk)。

10) 任意の要素f∈L(V1,...,Vk:W)に対して、1.f=f（1マルチプリケーション（乗法）のアイデンティティ（恒等性 ））: (1.f)(v1,...vk)=1f(v1,...vk)=f(v1,...vk)。

L(V1,...,Vk:W)の各要素は"テンソル"と呼ばれる。

典型的なある例は、L(V1,...,Vk:F): FはFベクトルたちスペース（空間）である。

もっと典型的なある例は、L(V:F):=V∗、"Vのコベクトルたちスペース（空間）"または"Vのデュアルスペース（空間）"と呼ばれる。

V∗の各要素は"コベクトル"と呼ばれる。

別の典型的な例は、Tqp(V):=L(V∗,...,V∗,V,...,V:F)、ここで、p個のV∗たちおよびq個のVたちがある。

V∗=T10(V)。

L(V1,...,Vk:W)はFベクトルたちスペース（空間）であるから、それはあるベーシス（基底）を許す、そして、任意のテンソルは当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちを持つ。そうしたコンポーネントたちセット（集合）が時々"テンソル"と呼ばれるが、当該コンポーネントたちセット（集合）は、厳密には、当該テンソルの当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちのセット（集合）であって、"テンソル"ではない。

参考資料
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