フィールド（体）、フィールド（体）上方のk個のベクトルたちスペース（空間）たちおよびベクトルたちスペース（空間）に関するテンソルたちスペース（空間）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、リニアマップ（線形写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、フィールド（体）、フィールド（体）上方のk個のベクトルたちスペース（空間）たちおよびベクトルたちスペース（空間）に関するテンソルたちスペース（空間）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\( \{V_1, ..., V_k, W\}\): \(\subseteq \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(*L (V_1, ..., V_k: W)\): \(= \{f: V_1, ..., V_k \to W: \forall j \in \{1, ..., k\}, \forall v_1 \in V_1, ..., \forall v_k \in V_k, \forall v'_j \in V_j, \forall r, r' \in F (f (v_1, ..., r v_j + r' v'_j, ..., v_k) = r f (v_1, ..., v_j, ..., v_k) + r' f (v_1, ..., v'_j, ..., v_k))\}\), \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)、下に指定されるアディション（加法）およびスカラーマルチプリケーション（乗法）を持って
//
コンディションたち:
\(\forall f_1, f_2 \in L (V_1, ..., V_k: W) ((f_1 + f_2) (v_1, ..., v_k) = f_1 (v_1, ..., v_k) + f_2 (v_1, ..., v_k))\)
\(\land\)
\(\forall f \in L (V_1, ..., V_k: W), \forall r \in F ((r f) (v_1, ..., v_k) = r (f (v_1, ..., v_k))\)
//
2: 注
言い換えると、\(f\)はマルチリニア（線形）マップ（写像）である。
\(F\)は当該全てのベクトルたちスペース（空間）たちに対して同一である必要がある、なぜなら、そうでなければ、当該リニア（線形）性は意味をなさない: "\(r f (v_1, ..., v_j, ..., v_k)\)"は意味をなさない、もしも、\(W\)が\(F\)ベクトルたちスペース（空間）でなかったら、したがって、各\(V_j\)は\(W\)のフィールド（体）上方のものである必要がある。実のところ、\(W\)のフィールド（体）は厳密に\(V_j\)のフィールド（体）である必要はなく、\(V_j\)のフィールド（体）のエクステンション（拡張）である必要がある、という議論はあり得、それは実際可能であるかもしれないが、そのケースを許容して状況を複雑化する即座の必要性を私たちは見ていない。
\(L (V_1, ..., V_k: W)\)は本当に\(F\)ベクトルたちスペース（空間）であることを見よう。
1) 任意の要素たち\(f_1, f_2 \in L (V_1, ..., V_k: W)\)に対して、\(f_1 + f_2 \in L (V_1, ..., V_k: W)\)（アディション（加法）の下で閉じていること）: \(f_1 + f_2\)は\(: V_1, ..., V_k \to W\)である; \((f_1 + f_2) (v_1, ..., r v_j + r' v'_j, ..., v_k) = f_1 (v_1, ..., r v_j + r' v'_j, ..., v_k) + f_2 (v_1, ..., r v_j + r' v'_j, ..., v_k) = r f_1 (v_1, ..., v_j, ..., v_k) + r' f_1 (v_1, ..., v'_j, ..., v_k) + r f_2 (v_1, ..., v_j, ..., v_k) + r' f_2 (v_1, ..., v'_j, ..., v_k) = r f_1 (v_1, ..., v_j, ..., v_k) + r f_2 (v_1, ..., v_j, ..., v_k) + r' f_1 (v_1, ..., v'_j, ..., v_k) + r' f_2 (v_1, ..., v'_j, ..., v_k) = r (f_1 (v_1, ..., v_j, ..., v_k) + f_2 (v_1, ..., v_j, ..., v_k)) + r' (f_1 (v_1, ..., v'_j, ..., v_k) + f_2 (v_1, ..., v'_j, ..., v_k)) = r (f_1 + f_2) (v_1, ..., v_j, ..., v_k) + r' (f_1 + f_2) (v_1, ..., v'_j, ..., v_k)\)。
2) 任意の要素たち\(f_1, f_2 \in L (V_1, ..., V_k: W)\)に対して、\(f_1 + f_2 = f_2 + f_1\)（アディション（加法）のコミュータティビティ（可換性）: \((f_1 + f_2) (v_1, ..., v_k) = f_1 (v_1, ..., v_k) + f_2 (v_1, ..., v_k) = f_2 (v_1, ..., v_k) + f_1 (v_1, ..., v_k) = (f_2 + f_1) (v_1, ..., v_k)\)。
3) 任意の要素たち\(f_1, f_2, f_3 \in L (V_1, ..., V_k: W)\)に対して、\((f_1 + f_2) + f_3 = f_1 + (f_2 + f_3)\)（アディション（加法）たちのアソシアティビティ（結合性））: \(((f_1 + f_2) + f_3) (v_1, ..., v_k) = (f_1 + f_2) (v_1, ..., v_k) + f_3 (v_1, ..., v_k) = f_1 (v_1, ..., v_k) + f_2 (v_1, ..., v_k) + f_3 (v_1, ..., v_k) = f_1 (v_1, ..., v_k) + (f_2 (v_1, ..., v_k) + f_3 (v_1, ..., v_k)) = f_1 (v_1, ..., v_k) + (f_2 + f_3) (v_1, ..., v_k) = (f_1 + (f_2 + f_3)) (v_1, ..., v_k)\)。
4) 以下を満たすある0要素\(0 \in L (V_1, ..., V_k: W)\)、つまり、任意の\(f \in L (V_1, ..., V_k: W)\)に対して、\(f + 0 = f\)、がある（0ベクトルの存在）: \(0\)マップ（写像）\(f_0 \in L (V_1, ..., V_k: W)\)は\(0\)である、なぜなら、\((f + f_0) (v_1, ..., v_k) = f (v_1, ..., v_k) + f_0 (v_1, ..., v_k) = f (v_1, ..., v_k) + 0 = f (v_1, ..., v_k)\)。
5) 任意の要素\(f \in L (V_1, ..., V_k: W)\)に対して、以下を満たすあるインバース（逆）要素\(f' \in L (V_1, ..., V_k: W)\)、つまり、\(f' + f = 0\)、がある（インバース（逆）ベクトルの存在）: \(- f \in L (V_1, ..., V_k: W)\)は\(f'\)である、なぜなら、\((- f + f) (v_1, ..., v_k) = - f (v_1, ..., v_k) + f (v_1, ..., v_k) = 0 = f_0 (v_1, ..., v_k)\)。
6) 任意の要素\(f \in L (V_1, ..., V_k: W)\)、任意のスカラー\(r \in F\)に対して、\(r . f \in L (V_1, ..., V_k: W)\)（スカラーマルチプリケーション（乗法）の下で閉じていること: \(r . f\)は\(: V_1, ..., V_k \to W\)である; \((r . f) (v_1, ..., s v_j + s' v'_j, ..., v_k) = r f (v_1, ..., s v_j + s' v'_j, ..., v_k) = r (s f (v_1, ..., v_j, ..., v_k) + s' f (v_1, ..., v'_j, ..., v_k)) = s r f (v_1, ..., v_j, ..., v_k) + s' r f (v_1, ..., v'_j, ..., v_k) = s (r f) (v_1, ..., v_j, ..., v_k) + s' (r f) (v_1, ..., v'_j, ..., v_k)\)。
7) 任意の要素\(f \in L (V_1, ..., V_k: W)\)、任意のスカラーたち\(r_1, r_2 \in F\)に対して、\((r_1 + r_2) . f = r_1 . f + r_2 . f\)（スカラーたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: \(((r_1 + r_2) . f) (v_1, ... v_k) = (r_1 + r_2) f (v_1, ... v_k) = r_1 f (v_1, ... v_k) + r_2 f (v_1, ... v_k) = (r_1 f) (v_1, ... v_k) + (r_2 f) (v_1, ... v_k) = (r_1 . f + r_2 . f) (v_1, ... v_k)\)。
8) 任意の要素たち\(f_1, f_2 \in L (V_1, ..., V_k: W)\)、任意のスカラー\(r \in F\)に対して、\(r . (f_1 + f_2) = r . f_1 + r . f_2\)（ベクトルたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: \((r . (f_1 + f_2)) (v_1, ... v_k) = r (f_1 + f_2) (v_1, ... v_k) = r (f_1 (v_1, ... v_k) + f_2 (v_1, ... v_k)) = r f_1 (v_1, ... v_k) + r f_2 (v_1, ... v_k) = (r f_1) (v_1, ... v_k) + (r f_2) (v_1, ... v_k) = (r . f_1 + r . f_2) (v_1, ... v_k)\)。
9) 任意の要素\(f \in L (V_1, ..., V_k: W)\)、任意のスカラーたち\(r_1, r_2 \in F\)に対して、\((r_1 r_2) . f = r_1 . (r_2 . f)\)（スカラーマルチプリケーション（乗法）たちのアソシアティビティ（結合性））: \(((r_1 r_2) . f) (v_1, ... v_k) = (r_1 r_2) f (v_1, ... v_k) = r_1 (r_2 f (v_1, ... v_k)) = r_1 ((r_2 f) (v_1, ... v_k)) = (r_1 . (r_2 . f)) (v_1, ... v_k)\)。
10) 任意の要素\(f \in L (V_1, ..., V_k: W)\)に対して、\(1 . f = f\)（1マルチプリケーション（乗法）のアイデンティティ（恒等性 ））: \((1 . f) (v_1, ... v_k) = 1 f (v_1, ... v_k) = f (v_1, ... v_k)\)。
典型的なある例は、\(L (V_1, ..., V_k: F)\): \(F\)は\(F\)ベクトルたちスペース（空間）である。
もっと典型的なある例は、\(L (V: F) := V^*\)、"\(V\)のコベクトルたちスペース（空間）"または"\(V\)のデュアルスペース（空間）"と呼ばれる。
別の典型的な例は、\(T^p_q (V) := L (V^*, ..., V^*, V, ..., V: F)\)、ここで、\(p\)個の\(V^*\)たちおよび\(q\)個の\(V\)たちがある。
\(V^* = T^0_1 (V)\)。
\(L (V_1, ..., V_k: W)\)の各要素は"テンソル"と呼ばれる。
\(T^0_l (V) := L (V, ..., V: F)\)の各要素は"マルチコベクトル"と呼ばれる。
\(V^*\)の各要素は"コベクトル"と呼ばれる。
\(L (V_1, ..., V_k: W)\)は\(F\)ベクトルたちスペース（空間）であるから、それはあるベーシス（基底）を許す、そして、任意のテンソルは当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちを持つ。そうしたコンポーネントたちセット（集合）が時々"テンソル"と呼ばれるが、当該コンポーネントたちセット（集合）は、厳密には、当該テンソルの当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちのセット（集合）であって、"テンソル"ではない。
