987: ファイナイト（有限）グループ（群）に対して、もしも、グループ（群）のオーダーの各ディバイザー（因子）に対して最大1つのサブグループ（部分群）がある場合、グループ（群）はシクリック（循環）である

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

ファイナイト（有限）グループ（群）に対して、もしも、グループ（群）のオーダーの各ディバイザー（因子）に対して最大1つのサブグループ（部分群）がある場合、グループ（群）はシクリック（循環）であることの記述/証明

---

話題

About: グループ（群）

---

この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

---

開始コンテキスト

• 読者は、要素によるシクリックグループ（循環群）の定義を知っている。
• 読者は、オイラーのトーシェントファンクション（関数）の定義を知っている。
• 読者は、ラグランジュの定理を認めている。
• 読者は、任意のポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）は当該ナンバー（数）のディバイザー（因子）たちのオイラーのトーシェントファンクション（関数）結果たちのサム（合計）であるという命題を認めている。

---

ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のファイナイト（有限）グループ（群）に対して、もしも、当該グループ（群）のオーダーの各ディバイザー（因子）に対して最大1つのサブグループ（部分群）がある場合、当該グループ（群）はシクリック（循環）であるという命題の記述および証明を得る。

---

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

---

本体

---

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$G$: $\in \{\text{ the }n\text{ -オーダーファイナイト（有限）グループ（群）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\forall }d|n(|\{G\text{ の全ての }d\text{ -オーダーサブグループ（部分群）たち }\}|\le 1)$
$⟹$
$G\in \{\text{ 全てのシクリックグループ（循環群）たち }\}$
//

---

2: 証明

全体戦略: ステップ1: $G$を要素たちのオーダーたちによって$\{S_d|d|n\}$として分割し、$n=|G|=\sum _{d|n}|S_d|$であることを見る; ステップ2: $|S_d|\le \varphi (d)$であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。

ステップ1:

$G$を要素たちのオーダーたちによって$\{S_d|d|n\}$として分割しよう、ここで、$S_d$は$G$のサブセット（部分集合）でその要素たちがオーダー$d$を持つものである。

$G$の各要素は定まったオーダーを持ち当該オーダーは$n$のディバイザー（因子）である、ラグランジュの定理によって、であるから、それは本当に$G$の互いに素な分割である。

したがって、$|G|=\sum _{d|n}|S_d|$。

ステップ2:

$|S_d|\le \varphi (d)$であることを見よう。

$S_d$の各要素は$G$のある$d$-オーダーサブグループ（部分群）をジェネレート（生成）する。しかし、それらサブグループ（部分群）たちは同一のサブグループ（部分群）$G_d$である、本命題の仮定によって。

$G_d$はシクリックグループ（循環群）であり、$S_d$の各要素は$G_d$内にあり$G_d$をジェネレート（生成）する。

オイラーのトーシェントファンクション（関数）$\varphi :\mathbb{N}\setminus \{0\}\to \mathbb{N}\setminus \{0\}$に対して、$\varphi (d)$は$G_d$の単体要素ジェネレイター（作成元）たちの数である、オイラーのトーシェントファンクション（関数）の定義に対する"注"によって、したがって、$|S_d|\le \varphi (d)$、なぜなら、$S_d$の各要素は$G_d$のジェネレーター（生成元）である、全ての単体要素ジェネレイター（作成元）たちが$S_d$内にないかもしれないが。

ステップ3:

$n=|G|=\sum _{d|n}|S_d|\le \sum _{d|n}\varphi (d)=n$、任意のポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）は当該ナンバー（数）のディバイザー（因子）たちのオイラーのトーシェントファンクション（関数）結果たちのサム（合計）であるという命題によって。

すると、各$d|n$に対して、$|S_d|=\varphi (d)$である、結局のところ、なぜなら、もしも、ある$d$に対して$|S_d|<\varphi (d)$であった場合、$n=\sum _{d|n}|S_d|<\sum _{d|n}\varphi (d)=n$、矛盾。

特に、$|S_n|=\varphi (n)$、しかし、$1\le \varphi (n)$、なぜなら、$gcd(n,1)=1$。

それが意味するのは、$G$は、$S_n$のある要素によってジェネレート（生成）されたシクリックグループ（循環群）であるということ。

---

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>