ファイナイト（有限）グループ（群）に対して、もしも、グループ（群）のオーダーの各ディバイザー（因子）に対して最大1つのサブグループ（部分群）がある場合、グループ（群）はシクリック（循環）であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、要素によるシクリックグループ（循環群）の定義を知っている。
- 読者は、オイラーのトーシェントファンクション（関数）の定義を知っている。
- 読者は、ラグランジュの定理を認めている。
- 読者は、任意のポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）は当該ナンバー（数）のディバイザー（因子）たちのオイラーのトーシェントファンクション（関数）結果たちのサム（合計）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）グループ（群）に対して、もしも、当該グループ（群）のオーダーの各ディバイザー（因子）に対して最大1つのサブグループ（部分群）がある場合、当該グループ（群）はシクリック（循環）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ the } n \text{ -オーダーファイナイト（有限）グループ（群）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall d \vert n (\vert \{G \text{ の全ての } d \text{ -オーダーサブグループ（部分群）たち }\} \vert \le 1)\)
\(\implies\)
\(G \in \{\text{ 全てのシクリックグループ（循環群）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(G\)を要素たちのオーダーたちによって\(\{S_d \vert d \vert n\}\)として分割し、\(n = \vert G \vert = \sum_{d \vert n} \vert S_d \vert\)であることを見る; ステップ2: \(\vert S_d \vert \le \phi (d)\)であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(G\)を要素たちのオーダーたちによって\(\{S_d \vert d \vert n\}\)として分割しよう、ここで、\(S_d\)は\(G\)のサブセット（部分集合）でその要素たちがオーダー\(d\)を持つものである。
\(G\)の各要素は定まったオーダーを持ち当該オーダーは\(n\)のディバイザー（因子）である、ラグランジュの定理によって、であるから、それは本当に\(G\)の互いに素な分割である。
したがって、\(\vert G \vert = \sum_{d \vert n} \vert S_d \vert\)。
ステップ2:
\(\vert S_d \vert \le \phi (d)\)であることを見よう。
\(S_d\)の各要素は\(G\)のある\(d\)-オーダーサブグループ（部分群）をジェネレート（生成）する。しかし、それらサブグループ（部分群）たちは同一のサブグループ（部分群）\(G_d\)である、本命題の仮定によって。
\(G_d\)はシクリックグループ（循環群）であり、\(S_d\)の各要素は\(G_d\)内にあり\(G_d\)をジェネレート（生成）する。
オイラーのトーシェントファンクション（関数）\(\phi: \mathbb{N} \setminus \{0\} \to \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(\phi (d)\)は\(G_d\)の単体要素ジェネレイター（作成元）たちの数である、オイラーのトーシェントファンクション（関数）の定義に対する"注"によって、したがって、\(\vert S_d \vert \le \phi (d)\)、なぜなら、\(S_d\)の各要素は\(G_d\)のジェネレーター（生成元）である、全ての単体要素ジェネレイター（作成元）たちが\(S_d\)内にないかもしれないが。
ステップ3:
\(n = \vert G \vert = \sum_{d \vert n} \vert S_d \vert \le \sum_{d \vert n} \phi (d) = n\)、任意のポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）は当該ナンバー（数）のディバイザー（因子）たちのオイラーのトーシェントファンクション（関数）結果たちのサム（合計）であるという命題によって。
すると、各\(d \vert n\)に対して、\(\vert S_d \vert = \phi (d)\)である、結局のところ、なぜなら、もしも、ある\(d\)に対して\(\vert S_d \vert \lt \phi (d)\)であった場合、\(n = \sum_{d \vert n} \vert S_d \vert \lt \sum_{d \vert n} \phi (d) = n\)、矛盾。
特に、\(\vert S_n \vert = \phi (n)\)、しかし、\(1 \le \phi (n)\)、なぜなら、\(gcd (n, 1) = 1\)。
それが意味するのは、\(G\)は、\(S_n\)のある要素によってジェネレート（生成）されたシクリックグループ（循環群）であるということ。
