ファイナイト（有限）グループ（群）に対して、もしも、グループ（群）のオーダーの各ディバイザー（因子）に対して、ディバイザー（因子）の因子であるオーダーたちの要素たちが最大ディバイザー（因子）数ある場合、グループ（群）はシクリック（循環）であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、要素によるシクリックグループ（循環群）の定義を知っている。
- 読者は、オイラーのトーシェントファンクション（関数）の定義を知っている。
- 読者は、ラグランジュの定理を認めている。
- 読者は、任意のポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）は当該ナンバー（数）のディバイザー（因子）たちのオイラーのトーシェントファンクション（関数）結果たちのサム（合計）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）グループ（群）に対して、もしも、当該グループ（群）のオーダーの各ディバイザー（因子）に対して、当該ディバイザー（因子）の因子であるオーダーたちの要素たちが最大当該ディバイザー（因子）数ある場合、当該グループ（群）はシクリック（循環）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ the } n \text{ -オーダーファイナイト（有限）グループ（群）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall d \vert n (\vert \{g \in G \vert \text{ } \vert \langle g \rangle \vert \text{ } \vert \text{ } d\} \vert \le d)\)
\(\implies\)
\(G \in \{\text{ 全てのシクリックグループ（循環群）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(G\)を要素たちのオーダーたちによって\(\{S_d \vert d \vert n\}\)として分割し、\(n = \vert G \vert = \sum_{d \vert n} \vert S_d \vert\)であることを見る; ステップ2: \(\vert S_d \vert \le \phi (d)\)であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(G\)を要素たちのオーダーたちによって\(\{S_d \vert d \vert n\}\)として分割しよう、ここで、\(S_d\)は\(G\)のサブセット（部分集合）でその要素たちがオーダー\(d\)を持つものである。
\(G\)の各要素は定まったオーダーを持ち当該オーダーは\(n\)のディバイザー（因子）である、ラグランジュの定理によって、であるから、それは本当に\(G\)の互いに素な分割である。
したがって、\(\vert G \vert = \sum_{d \vert n} \vert S_d \vert\)。
ステップ2:
\(\vert S_d \vert \le \phi (d)\)であることを見よう。
\(S_d\)の各要素\(g_j\)は\(G\)の\(d\)-オーダーサブグループ（部分群）\(\{g_j^1, ..., g_j^d = 1\}\)をジェネレート（生成）する。
各\(1 \le k \le d\)に対して、\((g_j^k)^d = g_j^{k d} = (g_j^d)^k = 1^k = 1\)、それが意味するのは、\(g_j^k\)は\(d\)の因子であるあるオーダーを持つということ。
したがって、本命題の仮定が言及している、オーダーたちが \(d\)の因子である最大\(d\)個要素たちは、\(\{g_j^1, ..., g_j^d = 1\}\)の全ての要素たちに他ならない。
\(\{g_1^1, ..., g_1^d = 1\}\)、\(\{g_2^1, ..., g_2^d = 1\}\)、...、があるが、実のところ、それらサブグループ（部分群）たちは同一である、なぜなら、そうでなければ、オーダーたちが\(d\)の因子であった\(d\)個より多い要素たちがあることになる。
各\(g_j\)は\(\{g_1^1, ..., g_1^d = 1\}\)をジェネレート（生成）するので、各\(g_j\)は\(\{g_1^1, ..., g_1^d = 1\}\)内にある、そして、\(S_d\)の要素たちは\(\{g_1^1, ..., g_1^d = 1\}\)のジェネレーター（生成元）たちである。
\(\{g_1^1, ..., g_1^d = 1\}\)はシクリック（循環）である、したがって、オイラーのトーシェントファンクション（関数）\(\phi: \mathbb{N} \setminus \{0\} \to \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(\vert S_d \vert \le \phi (d)\)、なぜなら、\(\phi (d)\)は\(\{g_1^1, ..., g_1^d = 1\}\)の単体要素ジェネレイター（作成元）たちの数である、オイラーのトーシェントファンクション（関数）の定義に対する"注"によって。
ステップ3:
\(n = \vert G \vert = \sum_{d \vert n} \vert S_d \vert \le \sum_{d \vert n} \phi (d) = n\)、任意のポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）は当該ナンバー（数）のディバイザー（因子）たちのオイラーのトーシェントファンクション（関数）結果たちのサム（合計）であるという命題によって。
すると、各\(d \vert n\)に対して、\(\vert S_d \vert = \phi (d)\)、結局のところ、なぜなら、もしも、ある\(d\)に対して\(\vert S_d \vert \lt \phi (d)\)であったら、\(n = \sum_{d \vert n} \vert S_d \vert \lt \sum_{d \vert n} \phi (d) = n\)、矛盾。
特に、\(\vert S_n \vert = \phi (n)\), but \(1 \le \phi (n)\)、なぜなら、\(gcd (n, 1) = 1\)。
それが意味するのは、\(G\)は\(S_n\)のある要素によってジェネレート（生成）されたシクリックグループ（循環群）であるということ。
