988: ファイナイト（有限）グループ（群）に対して、もしも、グループ（群）のオーダーの各ディバイザー（因子）に対して、ディバイザー（因子）の因子であるオーダーたちの要素たちが最大ディバイザー（因子）数ある場合、グループ（群）はシクリック（循環）である

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ファイナイト（有限）グループ（群）に対して、もしも、グループ（群）のオーダーの各ディバイザー（因子）に対して、ディバイザー（因子）の因子であるオーダーたちの要素たちが最大ディバイザー（因子）数ある場合、グループ（群）はシクリック（循環）であることの記述/証明

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話題

About: グループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、要素によるシクリックグループ（循環群）の定義を知っている。
• 読者は、オイラーのトーシェントファンクション（関数）の定義を知っている。
• 読者は、ラグランジュの定理を認めている。
• 読者は、任意のポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）は当該ナンバー（数）のディバイザー（因子）たちのオイラーのトーシェントファンクション（関数）結果たちのサム（合計）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のファイナイト（有限）グループ（群）に対して、もしも、当該グループ（群）のオーダーの各ディバイザー（因子）に対して、当該ディバイザー（因子）の因子であるオーダーたちの要素たちが最大当該ディバイザー（因子）数ある場合、当該グループ（群）はシクリック（循環）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$G$: $\in \{\text{ the }n\text{ -オーダーファイナイト（有限）グループ（群）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\forall }d|n(|\{g\in G||⟨g⟩||d\}|\le d)$
$⟹$
$G\in \{\text{ 全てのシクリックグループ（循環群）たち }\}$
//

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2: 証明

全体戦略: ステップ1: $G$を要素たちのオーダーたちによって$\{S_d|d|n\}$として分割し、$n=|G|=\sum _{d|n}|S_d|$であることを見る; ステップ2: $|S_d|\le \varphi (d)$であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。

ステップ1:

$G$を要素たちのオーダーたちによって$\{S_d|d|n\}$として分割しよう、ここで、$S_d$は$G$のサブセット（部分集合）でその要素たちがオーダー$d$を持つものである。

$G$の各要素は定まったオーダーを持ち当該オーダーは$n$のディバイザー（因子）である、ラグランジュの定理によって、であるから、それは本当に$G$の互いに素な分割である。

したがって、$|G|=\sum _{d|n}|S_d|$。

ステップ2:

$|S_d|\le \varphi (d)$であることを見よう。

$S_d$の各要素$g_j$は$G$の$d$-オーダーサブグループ（部分群）$\{g_j^1,...,g_j^d=1\}$をジェネレート（生成）する。

各$1\le k\le d$に対して、$(g_j^k{)}^d=g_j^{kd}=(g_j^d{)}^k=1^k=1$、それが意味するのは、$g_j^k$は$d$の因子であるあるオーダーを持つということ。

したがって、本命題の仮定が言及している、オーダーたちが $d$の因子である最大$d$個要素たちは、$\{g_j^1,...,g_j^d=1\}$の全ての要素たちに他ならない。

$\{g_1^1,...,g_1^d=1\}$、$\{g_2^1,...,g_2^d=1\}$、...、があるが、実のところ、それらサブグループ（部分群）たちは同一である、なぜなら、そうでなければ、オーダーたちが$d$の因子であった$d$個より多い要素たちがあることになる。

各$g_j$は$\{g_1^1,...,g_1^d=1\}$をジェネレート（生成）するので、各$g_j$は$\{g_1^1,...,g_1^d=1\}$内にある、そして、$S_d$の要素たちは$\{g_1^1,...,g_1^d=1\}$のジェネレーター（生成元）たちである。

$\{g_1^1,...,g_1^d=1\}$はシクリック（循環）である、したがって、オイラーのトーシェントファンクション（関数）$\varphi :\mathbb{N}\setminus \{0\}\to \mathbb{N}\setminus \{0\}$に対して、$|S_d|\le \varphi (d)$、なぜなら、$\varphi (d)$は$\{g_1^1,...,g_1^d=1\}$の単体要素ジェネレイター（作成元）たちの数である、オイラーのトーシェントファンクション（関数）の定義に対する"注"によって。

ステップ3:

$n=|G|=\sum _{d|n}|S_d|\le \sum _{d|n}\varphi (d)=n$、任意のポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）は当該ナンバー（数）のディバイザー（因子）たちのオイラーのトーシェントファンクション（関数）結果たちのサム（合計）であるという命題によって。

すると、各$d|n$に対して、$|S_d|=\varphi (d)$、結局のところ、なぜなら、もしも、ある$d$に対して$|S_d|<\varphi (d)$であったら、$n=\sum _{d|n}|S_d|<\sum _{d|n}\varphi (d)=n$、矛盾。

特に、$|S_n|=\varphi (n)$, but $1\le \varphi (n)$、なぜなら、$gcd(n,1)=1$。

それが意味するのは、$G$は$S_n$のある要素によってジェネレート（生成）されたシクリックグループ（循環群）であるということ。

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参考資料

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