1016: テンソルのシンメトライゼーション（対称化）マップ（写像）はリニア（線形）である

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

テンソルのシンメトライゼーション（対称化）マップ（写像）はリニア（線形）であることの記述/証明

---

話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

---

この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

---

開始コンテキスト

• 読者は、テンソルのいくつかの引数たちに関するシンメトライゼーション（対称化）の定義を知っている。
• 読者は、リニアマップ（線形写像）の定義を知っている。

---

ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の、テンソルのシンメトライゼーション（対称化）マップ（写像）はリニア（線形）であるという命題の記述および証明を得る。

---

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

---

本体

---

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$\{V_1,...,V_k,W\}$: $\subseteq \{\text{ 全ての }F\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$、ここで、$V_{j_1}=...=V_{j_l}:=V$、いくつかの$\{V_{j_1},...,V_{j_l}\}\subseteq \{V_1,...,V_k\}$たちに対して
$L(V_1,...,V_k:W)$: $=\text{ 当該テンソルたちスペース（空間） }$
$Sy{m}_{\{j_1,...,j_l\}}$: $:L(V_1,...,V_k:W)\to L(V_1,...,V_k:W)$, $=\text{ 当該シンメトライゼーション（対称化）マップ（写像） }$
//

ステートメント（言明）たち:
$Sy{m}_{\{j_1,...,j_l\}}\in \{\text{ 全てのリニアマップ（線形写像）たち }\}$
//

---

2: 証明

全体戦略: ステップ1: $f_1,f_2\in L(V_1,...,V_k:W)$は任意のものであるとし、$Sy{m}_{\{j_1,...,j_l\}}(r_1{f}_1+r_2{f}_2)=r_{1}Sy{m}_{\{j_1,...,j_l\}}(f_1)+r_{2}Sy{m}_{\{j_1,...,j_l\}}(f_2)$であることを見る。

ステップ1:

$f_1,f_2\in L(V_1,...,V_k:W)$および$r_1,r_2\in F$は任意のものたちであるとしよう。

$Sy{m}_{\{j_1,...,j_l\}}(r_1{f}_1+r_2{f}_2)(v_1,...,v_k)=1/l!\sum _{\sigma \in P_{\{j_1,...,j_l\}}}(r_1{f}_1+r_2{f}_2)(v_{{\sigma }_1},...,v_{{\sigma }_k}))=1/l!\sum _{\sigma \in P_{\{j_1,...,j_l\}}}(r_1{f}_1(v_{{\sigma }_1},...,v_{{\sigma }_k})+r_2{f}_2(v_{{\sigma }_1},...,v_{{\sigma }_k}))=r_{1}1/l!\sum _{\sigma \in P_{\{j_1,...,j_l\}}}{f}_1(v_{{\sigma }_1},...,v_{{\sigma }_k})+r_{2}1/l!\sum _{\sigma \in P_{\{j_1,...,j_l\}}}{f}_2(v_{{\sigma }_1},...,v_{{\sigma }_k}))=r_{1}Sy{m}_{\{j_1,...,j_l\}}(f_1)(v_1,...,v_k)+r_{2}Sy{m}_{\{j_1,...,j_l\}}(f_2)(v_1,...,v_k)=(r_{1}Sy{m}_{\{j_1,...,j_l\}}(f_1)+r_{2}Sy{m}_{\{j_1,...,j_l\}}(f_2))(v_1,...,v_k)$。

---

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>